DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

126. Soii d'abord Les fonctions dérivées sont toutes égales à e', et Ton a

d'où

Le reste ^ ; : tend vers iéro à mesure que

n augmente, quel que soit x^ car on peut écrire

Si l'on prend un nombre déterminé h<^\^ on arrivera

nécessairement à un facteur-: <I A; comme les fac-

teurs vont en décroissant, le produit •: •-: ^•••-

* i-i-ii-h2 n -\-\

sera plus petit qu^une puissance de Xr marquée par le

ii6 COURS d'analysk.

nombre de ces fadeurs, cV'st-à-dire plus petit que fc""*"*"', et par conséquent aussi petit qu'on voudra, en prenant /t

assez grand; donc le produit ^••- — ^ — i et par suite

le reste ^ (puisque e reste fini), peut de-

venir plus petit que toute quantité donnée; d'où Ton

X jr'

conclut que la série i H — H f- • • . est convergente,

et qu'elle a pour somme e'.

127. On tire de là le développement de a*. En effet, si l'on observe que a = e*", d'où a' = e'**, on obiient, en changeant, dans le développement de e', x en xla, et en

remplaçant e^ par a^*,

x\a x»(lfl)2 a^{\a"f x^iXaY

résultat qu'on aurait pu obtenir directement.

péveloppemeut de sino: et de cosx.