Soit

/(.r) = sina:,

on aura, en appelant n un nombre pa/r quelconque,

/' [x) rrrCOSJ-, f '^ {^) = — Smx, / "' {^) = — COSX,

/^"[x) =:sinj:,..., /(")(^) =ipsina:, /(""^O (:c)r=:ipcosx; d'où

/•(0)=:0, /'(0)=I, /''{0)==0, /-(o)=-I,..., /(«)(0) =0, /(«-«-O (0x)=:4=COS(ôx).

11 faudra prendre -j- cos (Bx) ou — cos (Ôx), suivant

NEUVIÈME LEÇOK. II7

que w ■+. I sera de la forme 4p -^ i ou 4p ^- 3- On aura donc

sin x = j? -4-

cos(0x).

Comme cos (9a:) est moindre que l'unité et qu'on peut toujours prendre n assez grand (n° 126) pour que

r devienne plus petit que toute quantité don-

née, la série

jr' x^

est convergente quel que soit jc et a pour somme sîn x»

Lorsque l'on aura x'^ -> le signe de cos {9x) dépendra

de la valeur de Q, el l'on ne pourra pas, en général, savoir le sens de l'erreur commise, lorsqu'on s'ariêiera à un terme d'un rang déterminé. Mais si, comme il arrive

ordinairement, x est < -> cos (dx) sera toujours positif^

et l'erreur commise 'sera alternativement en plus ou en moins.