FORMULE DU BIKÔMB POUR UN EXPOSANT QUELCONQUE
130. Proposons-nous de développer (a -h è)"*, m élani quelconque. On a, en posant - = x,
(«H- hYz=z\a[\ -t- j; )]«=«'" (i -ho:)'".
La question étant ramenée à développer (i4-x)'", soit
on aura
/(^) = w (IH- ^)'»-', /''(u:) = /w (771 — i) (i + xY-\ . . . ,
et, par suite,
(1 -+- xY = I -^ nix H ^^ ' j:* -+- . . .
H i . ^ -' jî"
131. Supposons d'abord que l'on ait 0:^1, eu valeur absolue; je dis que, dans ce cas, la série sera divergenle. En effet, on a pour l'expression de deux termes consécutifs :
Up = '^ — Vi — ^-^ — - •y'" ' ;
heuviems LEçoir. iip
par suite,
Up \ p
Comme ce rapport, à mesure que p augmente^ tend vers — x^ et que .r est plus grande que i, il s'ensuit que la série est divergente.
132. Quand au contraire x est moindre que i, en valeur absolue, la série est convergente et a pour somme
Supposons d*abord x positive, on aura
• I.2.3...(«-f-l) \l-f-Ôx/
Le premier facteur peut se mettre sous la forme
Les facteurs de la dernière ligne convergent vers — x ^x\ prenant z assez grand, et si /r est un nombre positif moindre que 1, mais plus grand que x^ on peut supposer i* assez grand pour que chacun de ces facteurs soit moindre que A^, abstraction faite dn signe. Leur produit sera donc moindre que A""***""*, et par conséquent aussi petit qu'on voudra,
A T^ 1 I • y m [m — \)..Am — n\ „,,
SI n croit. Donc le produit total — ^^ —• — 7-^^ r- J^ "^
sera aussi petit qu'on voudra en faisant croître n
(y \lH-l — »M -— ) t comme son exposant I -f- 0 jry
finît par être positif, il tend aussi vers o, à moins toutefois
que 0, qui dépend de /2, ne s'approche aussi indéfiniment
de o. Mais, dans tous les cas, ce facteur reste moindre
que l'unité. Par conséquent, le reste R tend vers o,
quand n croît. Donc la série représente (i -f- a:) *" pour
toute valeur positive de x plus petite que i. Comme
lao cotins d'analyse.
d ailleurs le reste change de signe quand n augmente d'une unité, les sommes successives de la série seront alternativement plus petites et plus grandes que (i H-x)*".
lo3. Si la valeur de .r est négative, rien ne prouve
que le facteur ( j ne croîtra pas indéfiuîment,
et même il devra croître, à moins que 0 ne tende vers o. II faut alors recourir à la seconde forme du reste (il8),
R -r — i L J 1 jr«H- (i — ô)«(, 4. Ox)"'-»-' :
on a donc, en valeur absolue, si Ton pose x =1 — z,
m (m — t)...(/w — n) ^, ^ ^^ fi — O^:!"-! R = — ^ — — ^2''+'(i — 0)».- :-^:-,
ou
fti-k-
■ Le premier facteur tend encore vers o , quand n augmente (132).
D'un autre côté, comme on a —
ez
peut devenir plus petit que toute quantité déterminée, à moins que Q ne tende vers o, et dans ce cas même ce facteur est toujours plus petit que 1 .
D*ailleurs (i — Ô2)'"~^ est <^i sim — i est positif,
et <^ ^ — si m — 1 est néeratif : c'est donc, dans tous
les cas, une quantité finie. Donc R peut devenir moindre que toute quantité donnée, si n est assez grand.
En résumé, si x tombe entre — i et -H i, on a, quel que soit m,
, , mirn — i) , m[m — \)[m — 2) ,
KEUVIEME LEÇON. 1^1
DÉVELOPPEMEJN'T DE log (l -|- x),
