Soit

(On ne cherche pas à développer \x parce qur x = o rend infinies celle fonciîon et ses dérivées.) On aura

/"+')(0x) = qzi.2.3. . ./i(i-f-0x)~"-', doue

1(1 -f-a:) = x-^ — + — — -r-4-. . .±— ip X

2 3 4 /2"*"/i-4-l (i-+-Ôj:)«-^'

Le rapport d'un terme au précédent est en valeur absolue — — — X, el converge vers x quand p augmente.

Donc (52) la série est divergente lorsque la valeur absolue de X est supérieure à i .

Supposons maintenant qu'on ail, en valeur absolue., X moindre que i. Dans ce cas la série est toujours •convergente, et nous allons démontrer qu'elle a pour somme l(H-x).

1° Soit d'abord x positive 5 on a

« -h I \l-h BxJ

est une fraction proprement dile; sa puissance

.(fi -h i)'*'"' pourra devenir plus petite que toute quantité donnée; et il en sera de même de R, àforliori,

tP Soit maintenant x négative. Posons j: = — z. On aura, abstraction faite du signe,

/Ï-+-I (i — 6«/*"^' n-\-i\i — Qzj

122 COUUS d'aNALTSB.

Mais, sous cette forme, on ne voit pas que le reste tende vers o 5 prenons donc Tautre forme de R (^^8),

on aura

I— ôz/ I — 9«

Or on a <Zz<Ci' Donc 1 ) > et par suite

i — e« ^ ^ \i — BzJ ^

( — j X r-5 peut devenir plus petit que toute

quantité donnée.

Ainsi, lorsque x tombe entre -4- 1 et — i , on a

/ \ w > X* X^ JC*