Exemples, i® L'expression devient

pour X = fl. Or la dérivée de x'" — a"* est ma:'"""*, et celle

de j: — a est I ; donc la vraie valeur de est moT^^

pour X = a, quel que soit m.

^ En appliquant la même règle, on trouve que, pour

, . , , JT* — Lax^ -^-Sà^x — a a*

X = a, la vraie valeur de ; ; est o.

On peut le voir autrement, car

donc la fraction donnée est égale à

(.r — fl)*(x — aa) [x — /'/)(jr — aa)

ou •

expression qui devient bien o pour x = a.

3° Soit Pour x = o, cette fonction devient -;

la dérivée de sinx est cosx, et celle de x est i ^ donc la

limite de — j- est 1 pour x = o.

Ce résultat doit être considéré comme une vérification, mais uoQ comme une démonstration, puisque nous n'a-

i58 COURS d'analyse.

vons obtenu la dérivée de sinx qu en nous appuyant sur

ce théorème, que lim est i pour a: = o.

sin'jp 4° En appliquant la même théorie on trouve lim

pour X = o; cette limite est o.

On y arrive aussi de la manière suivante :

sin'jr sinj? .

liin r= lim X linfi %\xxx = i X o = o.

On aurait de même

,. tan^i^x ,. sinx .. i

hm = hm X hm = i X i =^ i.

X X cosx

5° Limite de . pour x = o.

X — sinj7 ^

On trouve successivement

■^.—^ = = - pour « = o:

y . / ) I — cosa? o

■^„ — = — -. = - pour jr r^r o;

-- — f = = 2 pour X = o.

/'"(x) cosx '

La limite cherchée est donc égale à 2.

On serait parvenu à ce résultat, en remplaçant e*, e"^ et sinx par leurs développements en séries. En effet,

jr> X»

smx = X -4-