O SOUS LA FORME

162. Soit -^ — ( uue fraction qui se réduit â - quand /(x) ^ o ^

x= a. On se propose de déterminer la valeur vers laquelle tend -r— ' lorsque x s^approcbe indéfiniment de

la valeur particulière a. C^est cette valeur limite de •—--

qu^on appelle souvent la vraie valeur de la fraction qui se présente sous la forme indéterminée - • Puisque ç(a) = o ety*(a) = o, on a identiquement

y(jr)--y(fl) a{.r) <p(.r) — ,p(^) fp(jr) jc—a

^ — S ou bien

or, X tendant vers la valeur «, ^^^ ®-LJ, -i-LJ LJ

tendent respectivement, et par définition même, vers c^'(a) et/' (a). Donc

hm -^ — - — ^.^ — - , ou Iim -^ — - = lim -J,-~ •

fK-^) A[<i) A^) J [^)

On arrive encore à ce résultat par la série de Taylor. Supposons que/^"+*^ (a) et y^"+*^ [a) soient les premières

DOUZIÈME LEÇON. I Sj

dérivées qui ne s'annulent pas simultanément pour x=^a\ on aura, en posant j: == a + A dans la formule (9) du n» 130,

d'où

J\u 4- A j ~'/l«+0(a + 9'/i) ' d'où l'on tire, en faisant A = o,