VALEUR DES EXPRESSIONS QUI PRESHEKT LA FORME O X

i66. Pour trouver la valeur de l'expression <f(^)f(o)^ dans laquelle (f[a) = o eij'{a) = oo , on observe que

expression qui devient - pour x = a.

On peut encore poser

qui devient — pour x = a.

Dans les deux cas, on appliquera les règles précédentes. On trouvera ainsi

lim I (1 — x) tang — 1 == ~ P®"** ^^^^

167. Lorsque les dérivées de ^(x) et de f(x) conduisent à des expressions qui présentent toujours pour x= a la même indétermination que celle dont on cherche la vraie valeur, il faut recourir à des artifices particuliers. Celui qui réussit le plus généralement consiste à remplacer X par a-h h^ k développer les fonctions par la série deTaylor, à opérer toutes les réductions et simplifications possibles, et à faire finalement h = o. Ainsi

/ V y^r — v/fl -f- v/.r — a

^x^ — a* Stvbv. — j4n,t L ' ^ ,

l6'>. COUHS D^ANA.LTSB.

devient - pour x = a. Le quotient des dérivées

ol V X 2 \fx — a

devient — 9 et les dérivées suivantes donneront ton-

jours — -• Pour déterminer la valeur de l'expression (1), posons X = a -h A 5 elle devient

^a -4- A — ^a -»- y'A ^h^ia -h À

Si Ton multiplie les deux termes de ce rapport par yja -h II -\- ^aj il vient

A -^ y/ï (y/a -4- A -h v/«) ^h \J7.a -T- /i (^a -+- A -r y/fl)

divisant ensuite ces deux termes par sjh^ ou a

^ -h \ja~t- h -\- \ja — , — -^* •

^ia -h A ( y/a -+- A H- ^a) expression qui, pour A = o, devient

nJa T

^ ou — =^*

On serait encore parvenu à ce résultat^ en développant v/a -i- A par la formule du binôme.