DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

Extension du théorème de Taylor anz fonctions de plusieurs Yariables. — Extension du théorème de Maclaurin. — Propriétés des fonctions homogènes.

EXTEirSIOn DU THÉORÈME DE TATLOR.

470. Soît u z=zf{xyjr) une fonction de deux variables. Pour développery (x -f- A, jr-f. A) suivant les puissances de h et de A*, on change d'abord x en .r + ht^ y en jr-f-ht et, dans le résultaty(x-i- Af, ^-f-A/) développé suivant le} puissances ascendantes de t par la formule de Maclaurin, on fait f = i.

Soit donc

si Ton pose, pour simpliGer la notalion,

x-^At=p et jr^At = qy

Maintenant on a, d'après la série de Maclaurin,

et

Mais, à cause de f (£) = U,

puisque Ton a

d/j --^ hdt, dq = kdt\

lifi'} COURS D*AMLTSE«

donc

dp dq

Si Ton désigne ^' (^) par U', U^ sera encore nne fonction de p et de </, et Ton aura

^ ' dp aq dp' dpdq dq^

Maïs le dernier membre n'est autre chose que le développement de ( — - A H- — ^ I dans lequel on aurait

remplacé ^U* par ^*U; on peut donc écrire la formule symbolique

on aura de même et, en général,

«:e qu^on démontrera aisément en faisant voir (comme pour les différentielles totales des fonctions de plusieurs variables) qu'une nouvelle différentiation revient a naulti plier chaque terme de l'expression symbolique par

---- h + - — kj puis à changer les exposants de dU eu indices de différentiation.

Ainsi donc on aura généralement

^ ^ ^ dp" dp'^-'dq