i \ax dy

On a d ailleurs

I r/rfu , . tl\^

expression dans laquelle il faut remplacer p par x + SA, etç parj^H-Ôi.

172. Comme heik sont les accroissements arbitraires des variables indépendantes xet^, on peut les remplacer par djc et dy^ ce qui change <^' (o) en du, ^" (o) en

couvs

D ÀHiLTSE.

rf*/i, etc

., et i

il vient

d^u -hdu-^

On parviendrait de la même manière à la formule

d^u d'u = a-f-£/aH h... H hR,

OÙ

I Vf^V, dV , dV , \c)

i.tl. , .n \\iip di/ dr /

(du , du , du , \^"^T

Dans cette expression symbolique, on a

et 0 représente une fraction positive.

Quand on reconnaît que le reste R peut devenir plus petit que toute quantité donnée, lorsque n est assez grand, la série indéfinie qui forme le second membre de Téquation (2) est convergente et a pour somme f(x -f- A, j^ 4- A, z -f- /,.••) • C'est la série de Taylor étendue k un nombre quelconque de variables.

173. On peut faire voir ici, comme pour les fonctions d*une seule varîable, qu'en prenant h et k assez petits, un terme quelconque du développement, s'il n'est pas nul, surpassera en valeur absolue le reste de la série, à partir de ce terme.

Ainsi soit, dans la série (1)9 le terme

TREIZIÈME LEÇOlf. 169

R dp* di* \ ffp"-^ dq djc^-' dxJ h

dx" da^'-'dy h

après avoir divisé les deux termes de la fraction par /i", Or, pour A = o et A= o, -; — -— -- devient -- — :

' ^ dfJ^dq'*-* djc^iij'*'

donc, en prenant A et Ar assez petits, le numérateur pourra être rendu plus petit que toute quantité donnée, puisqu'il se compose de groupes de termes qui tendent séparément vers zéro^ landis que le dénominateur a une limite différente de zéro^ donc, etc.