OU

u V sinBUi V

Dans la théorie de la lumière, la quantité ~i rapport

des vitesses de la lumière dans les deux milieux, est Tindice de la réfraction de la lumière, au passage du premier milieu dans le second.

3° f{x)z= /!*-{- 1COSX -h e-*.

On a

y (.r) z=z c* — •>, sinx — tf~',

Si Ton égale y ( c) à o, on a x = o, valeur qui, substituée dansy*(j:'), donne/(o) = 4-

Pour savoir si c'est un maximum ou un minimum, substituons o à la place de x dans y*" (x). Comme y (o) = o, il faut aller plus loin. Or

/'"[x]=:f*-^ lûnx — er-* et /"(j:) =^ <?*-+- 2C0SJ:-f- r"^,

d'où Ton tire

r{o)--^o et /-(o) = 4;

doncy((>) = 4 est un minimum de f[oc).

4** Trouver la distance minimum d'un point donné M (a, b) à une courbe dont on connaît V équation

Joignons MK, K étant un point quelconque de la courbe. On aura

Mk'= (a: — £i)» -I- (> — A)^

En égalant à zéro la différentielle de cette expression, nous aurons

QUATORZIÈME LEÇOlf.

équation qui revient à

y — h (Iy

jc — a dx

Or cette relation entre — j coefficient angulaire de la tan-

génie à la courbe donnée au point (x,j^), et » coef-

Dcient angulaire de la droite MK, montre que ces deux droites sont perpendiculaires entre elles. Donc la droite minimum doit couper la courbe donnée à angle droit.

Si la dislance MK était susceptible d'un maximum, on le trouverait encore par la résolution des équations (i)

Considérons en particulier le cercle dont réquation est

On aura -^ = ? et la relation (2) deviendra

ou bien* après réduction,

Fig- 9-

Ainsi, pour déterminer x et j^, nous aurons les deux équations

qui, prises simultanément, représentent les points d'inlersectîon du cercle donné avec la droite MO. Alors KM sera la distance minimum, et K'M la. dislance maximum,

i8i COURS d'analyse.

comme on le verra facilement en considérant les dérivées suivantes.

Mais il se présente ici une singularité que Ton peut rependant expliquer par la défînition même des maximums et des minimums.

Supposons que le point donné soit le point N situé sur Taxe des abscisses à une distance a du centre. Le carré de la distance NH sera représenté par l'expression

ou bien par

Or la dérivée de cette expression est une quantité constante ( — aa) qui, par conséquent, ne peut être égalée à zéro. Ainsi, quoiqu'il existe une distance minimum qui est NA, on ne l'obiient pas par notre procédé. Cela vient de ce que, d'après la définition, une fonction est niîiiî* mum pour une certaine valeur de la variable, lorsqu'elle augmente pour des valeurs plus grandes et plus petites de cette variable. Or, si NH est considérée comme une fonction de x, NA n'est plus un minimum dans le sens que nous venons dédire, puisque cette fonction, réelle pour des valeurs do x moindres que r, devient imaginaire pour des valeurs plus grandes.

Cette fonction est nulle pour a: = o et pour j: = fe. H est clair qu'entre les deux valeurs o et i, il y en aura au moins une pour laquelle elle sera maximum; en prenant la dérivée, on aura

f'{x) — maf^' {h — x)" — nx^{ù — jc)"-' —, jjw— I ^^ — t)"-' [mh — mx — nx).

Il faudra donc poser

QUÀTOnZIÈME LEÇON. I 83

ce qui donne les trois valeurs

rnb

A la première correspond un maximum, car la dérivée passe évidemment du positif au négatif quand x dépasse

la valeur — — • m -r- n

Si m est pair, à la valeur o correspondra une valeur minimum de la fonction, mais dans ce cas seulement. En eflfet, pour des valeurs positives ou négatives trèsvoisines de zéro, les facteurs de la dérivée, (b — a:)"~* et mb — (m-\-n)x, sont toujours positifs, tandis que le facteur jc"""* passe du négatif au positif, puisque m est pair : la fonction sera un minimum dans ce cas. Mais si m est impair, aucun des facteurs de la dérivée ne changera de signe, et il n^y aura ni maximum ni minimum.

On verra de même qu'à la valeur b il correspondra un minimum si n est pair, mais qu'il n'y aura ni maximum ni minimum si n est impair.

HAXIMVlfS ET MINIMUMS DES FONCTIONS IMPLICITES d'uNB