Soit
X^ — 2mxf -f- .r' =^ u
une équation qui détermine y en fonction de x. On peut trouver les maximums et les minimums de jr sans la résoudre. En effet, la difTérentiation de cette équation
donne
d'où
djr my — x
dx y — mx
i84 COURS d'analyse.
Comme les valeurs de x qui répondent à des maximums ou à des minimums de y doivent satisfaire à la condition
on aura ces valeurs en résolvant les deux équations
189. Supposons, pour plus de généralitr, que Ton ait trois équations entre quatre inconnues :
9{^9 Xi 2, /r — o,
L^une quelconque des variables, x par exemple, étant prise pour variable indépendante, les trois autres seront des fonctions de celle-ci. Considérons en particulier la fonction u. Pour trouver les valeurs de x, ainsi que les valeurs correspondantes de j^ et de 2, qui donnent des maximums ou des minimums de 11^ on observe que, dans le cas ordinaire du maximum ou du minimum, on a
du dx
D'après cela, la différentiation immédiate des équations (1) donne, en y regardant j^, z et u comme des
fonctions de x et supprimant les termes où entre —9
dx
df df dy df dz
dx dy dx dz dx
, d^ d^ dy dff dz
^ ' ^ dx dy dx dz dx '
d^ d'^ dy d-^ dz
dx dy dx dz dx
QUATORZIÈME LEÇON. l85
On élimine -.- et -r- et Ton obtient une équation, dx dx
(3) F(x, jr, z, «)=o,
qui, jointe aux équations (i), détermine les valeurs de X, y^ z et M.
En diflerentiant de nouveau les équations (i), on o))-
tiendra — r« On y substituera les valeurs trouvées pour
x^y^ z^ II, et, selon que le résultat sera positif ou négatif, u sera un minimum ou un maximum.
L'élimination de -- et de -7- entre les équations (2)
dx dx * ^ '
peut se faire eu ajoutant ces équations mulipliées respectivement par I, X et fx, et choisissant les indéterminées i et /JL de manière que dans le résultat les coefficients
de -^ et de — soient nuls. On remplace ainsi les équa-
tions (2) par celles-ci :
df d(^ d"^
dx dx '^ dx '
dy^ df d'if
dz dz dz
L'élimination de X et de /x conduit quelquefois plus rapidément à Téquation (3) que celle de — et de — entre
OX ilX
les équations (7).
190. Soient à déterminer les maximums ou les minimums d'une fonction explicite F(x, j", z, ry), x, y^ z et u étant des variables liées entre elles par les équations
(') \ tC*^, r» «I «) = o»
^[^y ïy «> «) = <>•
iM COURS D*Âlf4LTSB.
L'une des variables, x par exemple, étant regardée comme indépendante, j^, z, u, (F, jt*, y^ z^ u) seront des fonctions de x.
Si Ton joint aux équations (i) la suivante,
on voit que la nouvelle question est un cas particulier de la précédente, savoir celui dans lequel la fonction implicite v^ dont on cherche les maximums et les minimums, n'entre que dans une seule des équations (i).
EXERCICES
\ . Quel est le plus grand quadrilatère que l'on puisse former avec quatre côtés donnés?
Solution. — Le quadrilatère inscriptible.
2. Trouver sur une circonférence donnée un point tel, que la somme de ses distances à deux points donnés soit un maximum oa un minimum.
Solution. — Le point de contact de la circonférence et d'une ellipse, tangente au cercle, ayant pour foyers les deux points donnés.
3. Inscrire dans une sphère donnée un cône dont la surface totaie soit un maximum.
Solution. — En désignant par x la hauteur du cône et par r le rayon de la sphère, on a
4. Circonscrire à une sphère donnée un cône dont le volume soit un minimum.
Sollt:ion. — Mômes notations.
