VARIABLES INDÉPENDANTES

191. On dit qu'une valeur particulière et réelle d'une fonction de plusieurs variables indépendantes y*(jr,^, r) est un maximum, quand elle surpasse toutes les valeurs voisines de cette fonction, c'est-à-dire celles qu'on obtiendrait en donnant aux variables des valeurs très-peu différentes de celles que Ton considère. On appelle minimum d'une fonction une valeur particulière moindre que toutes les valeurs voisines. La différence

doit donc être constamment négatwe pour des valeurs suffisamment petites et aussi petites que Ton voudra, de h y k et/, quandy(j:, 7% z) est un maximum, quels que soient les signes de A, A" et /; au contraire, cette différence est constamment positwe quandy'(x, j^, z) est un minimum. Supposons que la fonction u =y [^'tj^ ^) soit un maximum ou un minimum pour x == a^ j = h^ z = c. Si dans cette fonction on attribue k jet à z les valeurs fixes b et c, et qu'on ne fasse varier que x, elle sera encore un maximum ou un minimum pour x =. n. Par conséquent, il

faudra que, pour a: = a, j =.h^ z = c^ — soit nulle,

infinie ou discontinue. On dira la même cliose de -;- et

de -7- • Donc les valeurs de x, j^ z qui rendent u, maxi -

mum ou minimum se trouvent parmi celles qui rendent

I 1, . , (iti ffii du ,, • /» . j-

les dérivées -7-5 — ? - nulles, infimes ou discontinues. ax dy dz

192. En se bornant au cas où ces dérivées sont continues, on peut recourir à la série de Taylor pour distinguer, parmi les solulions du système,

du du du

dx dy dz

celles qui répondent à des maximums ou à des minimums. En effet, on a A li ou

/•/ » # .X >./ X du , du . du , ^

/x-h/i, 74-X-, z-\-l)—f[x,y,z):=i-'h'\~--k'fr 3-/4-R.

dx dy dz

Or on peut toujours prendre /i, hell assez petits pour que la somme des valeurs absolues des termes qui contiennent h^ k ci l au même degré surpasse la valeur absolue du reste R correspondant: d'ailleurs, dans la question qui nous occupe, on doit regarder A, /r et / comme pouvant être plus petits que toute quantité donnée^ et en même temps comme ayant des signes quelconques ^ donc : i^ Au doit avoir le même signe que

du du du

dx ' dy dz *

2*^ si Ton n'avait pas à la fois

du du du

cU^"' ^ = °' ^ = °'

f{x^ y^ z) ne pourrait être ni un maximum ni un minioium, puisque en changeant simplement les signes de A, h et /, sans changer leur valeur absolue, on change-

, . ^ du j dti dit . . , ,

rail le signe de -rii-\ — r*^-^ — vh ^^^ par suite, celui

^ dx dy dz ^

IQO COURS D^AKALYSE.

de Au. Nous retrouvons ainsi les conditions précédemment obtenues (191).

i93. Cherchons maintenant quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que f[jc^ y, z) soit un minimum ou un maximum.

La différentielle totale du premier ordre étant nulle, on aura

Aairr— AA'-t-BA»-rC/^-t-2DAX -H 2E/i/4- 2FX/) -+- R, 1.2'

ou bien

Aa= -c/*«4-R.

Admettons d'abord que les coefficients A, B, C, D, E, F, qui, pour abréger, désignent les dérivées partielles du

second ordre, -— j --—-5 etc., ne soient pas tous nuls à la

dx* dy* *

fois pour les valeurs considérées de x^j^ z, c'est-à-dire pour celles qui annulent les dérivées du premier ordre du du du dx dy dz

Si d^u n'est pas identiquement nulle, il peut arriver trois cas :i^ d*u pourra changer de signe, alors il n'y aura ni maximum ni minimum^ 2^ d*u conservera toujours le même signe, alors u sera maximum ou minimum selon que d*u sera négative ou positive; 3^ d^ u sera nulle pour certaines valeurs de h^ Ar, /, mais sans jamais changer de signe, alors on ne peut dire, sans pousser plus loin le développement de Au, si la fonction est un maximum ou un minimum.

Nous nous contenterons de chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour que d*u ou la fonction

A/j» -4- BX^ 4- en -h 2 D/iX -f- 2 EA/ -f- 2 FX7

soit constamment positive, qnels que soient les signes de //, fi\ /« pour de très-petites valeurs de ces trois quantités.

QUINZIÈME LEÇON. I9I

Mais comme cette expression est une fonction homogène de A, h et /, en la mettant sous la forme

on voit que, si elle est positive pour Je très-pelites valeurs de h, kj /, elle le sera encore pour des valeurs aussi grandes que Ton voudra de ces variables, pourvu que leurs rapports ne changent pas. Ainsi, il sera nécessaire et suffisant que l'expression

soit positive pour toutes les valeurs réelles deh^ k et /.

Observons maintenant que si Tun des coeflicients des carrés, A par exemple, était nul, les coefficients des termes qui contiennent A, c'est-à-dire D et E, seraient aussi nuls. En effet, dans ce cas, on a