PA+Q

en posant

P = 2 ( D ^ -^ E /) , Q == B / = -h C/' — 2 FiJ/ ,

P et Q étant indépendants de h] si, après avoir donné des valeurs arbitraires à /r et à /, on fait

/i rn — -- 4- a, puis ensuite A = ~ — a,

les résultats de celte substitution seront Pa dans le premier cas, et — Pa dans le second. Donc, si P n'était pas nu! identiquement, d^u pourrait changer de signe. Par conséquent, Fégalité A = o entraîne les suivantes :

Il résulte de là que les coefficients A, B, C ne sont pas nuls à la fois^ car, s'il en était ainsi, la fonction d*u s'annulerait d'elle-même, contrairement à notre supposition.

IQ'2 GOUBS D ANALYSE.

Supposons donc que A, par exemple^ ne soit pas nul^ je dis que A sera positif; car si l'on pose A" = o et / = o, la fonction se réduit au terme A A' qui, pour être positif, exige que A soit positif. Une première condition nécessaire dans le cas du minimum est donc

Maintenant, on peut mettre d^u ou la fonction AA» 4- B^» 4- C/* 4- 2 DhA 4- 2EA/ 4- ^TAl sous la forme

aU^-Jt ih .^i±-L'\ 4- BA> 4- C/' H- 2 F^/,

ou bien encore, en complétant le carré dont les deux premiers termes sont dans la parenthèse,

Si l'on pose, pour abréger,

ou devra donc avoir, pour toutes les valeurs de A, h^ /,

A/'//4-5i±l/y4-G^«4-I/>4-2MW>

Si G était nul, la fonction considérée se réduirait pour

DX4-E/ h = -^—

Ce binôme ne peut être positif pour toutes les valeurs de / et de A que si M = o ; mais d*a pouvant alors être

QUINZIEME LEÇON. 1 qS

mis sous la forme

cette différentielle s'annulerait pour la valeur / == o jointe à une infinité d'autres valeurs de k et de A, cas particulier qne nous avons écarté.

Soit donc G différent de o : si l'on fait

iz= o cl h = — --^,

la fonction se réduit à Gk*, et comme ce résultat doit être positif pour toutes les valeurs de A, on en déduit que G doit être positif. Ainsi, une seconde condition, nécessaire dans le cas du minimum, est

Maintenant, abstraction faite du premier terme, le reste du polynôme pourra s'écrire

ou

en complétant le carré dans la parenthèse, et posant, pour abréger,

Donc la diiférentielle seconde d^u pourra être mise sous la forme

et Ton reconnaîtra) comme plus haut, que Ton doit avoir (3) N>o.

Stckx. — j^n., I. l3

Ainsi, en général, Irois conditions^

sont nécessaires pour quey(x, ^, z) soit un minimum. Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes^ car, si elles sont remplies, l'expression

c'est-à-dire ^*u, sera positive pour toutes les valeurs réelles de /i, k et /.

194. Sif{x^j'^ z) est un maximum, il faudra, pour les mêmes raisons, que Ton ait

AA»-hBXM . .. H-2F^/<o,

ou bien

— AA»— B>t»— ... — 2FX/>o

pour toutes les valeurs réelles de A, Ar, /. On aura donc les conditions nécessaires et suffisantes du maximum, en remplaçant, dans les trois conditions trouvées plus haut, A par — A, B par — B, . . . , F par — F.

195. S'il arrivait que les quotients différentiels A, B, C, D, E, F fussent tous nuls, pour les valeurs de x^jr et x tirées des équations

du du du

on verrait facilement que tous les quotients diflférentiels du troisième ordre devraient s*annu)er d'eux-mêmes. Mais nous n'irons pas plus loin, parce que les conditions qui^ dans le cas du maximum ou du minimum y(x, jr, x), doivent alors être remplies par les quotients différentiels du quatrième ordre, deviennent beaucoup trop compli^ quées.

QUINZIÈME LEÇON. IqS

MAXIMUMS ET MINIMUMS DES FONCTIONS IMPLICITES DB PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.