Soient ]es équations

I/(-2?, r, »> tt, «'l - o> <p(ar, j, z, «, i') ". o, >[»(x, y, a, H, J») =0.

Si Ton considère deux des yariables, par exemple x

et y^ comme indépendantes, z, u, ^ seront des fonctions

de X et de ^ déterminées par ces équations. Pour rendre

maximum ou minimum la fonction v^ par exemple, il

faut, d'après la règle donnée précédemment^ résoudre

les équations

d9 dv

Par suite, on doit avoir

dv ^ dç ^

c*cst-à-dire que la différentielle totale de x^ doit être nulle.

Si l'ondifférentie les équations (i) en faisant attention que dy = o, il viendra

df ^ df ^ df ^ df ^ dx dy dz du

(a) { -^dx '^-^dx-{--^dz-^-^du = o,

^ ^ dx dy dz du

dx dx dz du

Dans ces équations, dx^ dy sont des constantes, et dz^ du sont les diflerentielles totales de u et de z considérées comme des fonctions de x et de y.

196 COURS d'ahaltse.

En éliminant dz et du entre les équations (2), on ob^ tiendra une équation de la forme

qui devra être vérifiée, dans le cas du raaicimum comme dans celui du minimum, par les valeurs correspondantes des variables x et y. Par suite, puisque dx et djr n'ont aucune dépendance entre elles, il faudra que l'on ait

Les équations (i) et (3) donneront les valeurs cliercbées de a:, jr^ z, m, i^.

Pour savoir si la valeur correspondante de la fonction est maximum ou minimum, il restera à examiner si la différentielle totale d* v garde toujours le même signe.

197. Ce qu'on vient de dire renferme comme cas particulier la détermination des maximums et des minimums des fonctions de plusieurs variables indépendantes liées entre elles par un certain nombre d'équations.

Ainsi, supposons qu'il s'agisse d'une fonction

v:=¥[x^ r, «, «) et que l'on ait en outre les relations

On voit que cela revient à changer, dans la question, précédente, y* (x, y^ z^ u, v) en F [oc^y^ z, u) — t', et à supposer les fonctions ^ et (|/ indépendantes de 1^.

EXERCICES

\ . Trouver la plus courte distance de deux droites dans i^espffce données par leurs équations^

SoLUTxOiN. — Les équations des droites étant

i x = az-\-p, ( x — a'z-Jrï^f

QUINZIEME LEÇOIT. IQJ

la plus courte distance est

(a^n')iq-q')-^{b'- h') ip - p') ^' ^ L

2. Parmi les parallélipipèdes de même surface, assigner celui qui a le plus grand volume.

Solution. — Le cube.

3. Mener par un point donné la ligne droite la plus courte entre deux courbes données datis un plan.

Solution. — I^s normales aux extrémités de la droite minimum doivent rencontrer au même point la perpendiculaire à cette droite menée par le point donné.

4. Déterminer y dans une surface du second degré ^ le plus grand et le plus petit des rayons vecteurs partant du centre,

5. Déterminer dans l'espace un point tel, qu'une fonction de ses distances à des points donnes soit un maximum ou un minimum.

Solution. — Si /?, /?', /?",..., sont les distances en question, et ti — f(p,p\ p\. ..) la fonction qui doit être un maximum ou un minimum, il faudra que le point M reste en équilibre sous Taction

de forces proportionnelles à -r-j A—,, -r-Ti) • • • » et dirigées suivant

dp dp dp

les droites/?,/?', />',... [Annales de Gergonne^ i, XIV, p. ii8).

COURS D AHALTSE.