LONGUEUR DES LIGNES NOMMÉES SOUS-TAKGENTE. ETC

201. Attachons-nous maintenant, en particulier, au cas où les axes sont rectangulaires.

Si Ton veut avoir la sous-tangente S|= PT, on aura

Fig. 12. dx

PTr=MPlangTMP = j--T-',

df

donc

rdx

On trouve encore la valeur de la sous -tangente en la regardant

comme la limite de la sous-sécante, c'est-à-dire de la

droite SP. Or

SP ^ MP langSMP = j — ,

et cette expression a bien pour limite y

dx

Le triangle MPN [Jig, ii, p. 198) donne pour la 50U5normale PN

dx

Pour la longueur MT de la tangente, on aura

MT

dx*

Eniin, pour la longueur MN de la normale, on a

Exemple.

Supposons, pour fixer les îdées, a>i. Celle courbe, Fig. i3. nommée logarithmique, s'éiend

à l'infini des deux tôles de Taxe des y^ et elle est asymptote à l'axe Ox du côlé des x négatifs.

On tire de Téquation j^ = a',

dx

par conséquent,

T— r=:fl*l<i(X— «)

est Téquation de la tangente.

Cette tangente peut être construite bien simplement à Taide de la sous-tangente TP ; on a

dx d.T I

dy djr fl l<i

ou

TP = 7- = logtf.

Ainsi la sous^tangente est constante et égale au loga^ rithme de épris dans le système dont la base est <7, cestà-JÀre au module de ce système. Quand a = e, la valeur constante de la sous-tangente est Tunité.

DEGEÉ DE L^ÉQUÀTIOIV DE LA TAKGEHTE.

202. L'équation de la tangente menée par le point (x^y) peut être mise sous la forme

dx dr tix