COURS D AH ALT SE

Si réqualîon de la coarbe est algébrique et du m'^' degré, il semble au premier abord que -7-^ -i- -\--y »era une

fonction du m^^*^ degré des coordonnées du point de contact. Mais ce degré s'abaisse d'une unité quand on tient compte de l'équation y(x,j') = o.

En effet, soit

u étant l'ensemble des termes du m**'"* degré, if| T ensemble de ceux du (m — i)'*""', et ainsi de suite. On aura

df du dttx du-t

tix dx dx dx

df du dui rlui dj dy dy dy

d'où

df df du du

dx dy^ dx ^ dy

[ dux du\ ( du^ du^

ce qui, d'après un théorème (n^ 178) sur les fonctions homogènes, donne

df df f X , s

dx dy ^

= /w(i« -h«,-l- 11,-f-...) — «,— 2«,— 3jï, — ..•.

Or, le point (x, y) étant sur la courbe, on a

/ît (a -f- a, -h a, -h . . . ) = o ; donc l'équation de la tangente devient

-f^X-f- - -Y 4-a, -f-2i/,-4-3tt3-f-... = o,

€lx dy

et ne coniient plus de termes du m'**^ degré : ce qu'il s'agissait de démoutrer.

Exemple.

A J-» 4 ï^xy -h Cx» 4- D7 H- Ex 4- F = o.

SEIZIÈME LEÇOV. 303

On a

dx 2Aj H-Bx-T-i)

Il vient donc, pour Téquation de la tangente,

(2Aj- -4- Bjt + D)(Y — 7) H- (B/ H- aCx 4- Ej(X — x;=o,

ou

(2Ar -^- Bx -f- D) Y + (Bj -f- aCx -h E) X

=■- (2 A j- -f- Bx -f- D ) j- -h ( Bj- 4- aCo: + E) j:.

Simplifiant au moyen de Féquation de la courbe, on a finalement

(2A/4-Bar-hD) Y -f- {Bj4- 2O -hE) X -h Dj-hEr -h2F -o,

pour Tcquation de la tangente au point (x, j^).