DE LA CONCAVITÉ ET DE LA CONVEXITÉ DES COURBES

VLANES.

205. Nous allons maintenant comparer les ordonnées Fig. 14. d'une courbe à celles de sa tan*

gente, pour une même abscisse, dans les environs du point de M'// contact. Soit MT une tangente '^- à la courbe MM'5 soient x= OP,

y = MP les coordonnées du point de contact. En désignant PP par /t, on aura

. dr ^ d^y /*»

dx Ux* 1.2

SEIZIÈME LEÇON. ^o5

L'ëquation de la tangente étant

on aura, pour le point dont Tabscisse est x 4- /i,

et, par suite, l'ordonnée correspondante sera

d*où

dx^ 1 .2

On a démontré, à Toccasion de la formule de Taylor, que si

h est assez petit et si la dérivée seconde -^ est différente

d^r h^ de o, la valeur absolue de -—r surpasse celle de R ;

par conséquent, dans ce cas, la diflérence M'P' — P'R, pour un point M' de la courbe, suffisamment rapproché,

soit d^un côté, soit de Fautre, du point M, aura le même

d\Y signe que .^.

Donc, si Ton a

les ordonnées de la courbe sont plus grandes que celles de la tangente dans les environs du point M, de part et d'autre de ce point. Si, au contraire, on a

les ordonnées de la tangente surpassent celles de la courbe.

Dans le premier cas que représente X^l fig, i5, la courbe, aux environs du point M, tourne sa concavité

ao6 COURS d'analtse.

du côté des y positifs; dans le second cas, la concavité est tournée du côté des y négatifs. La convexité est

toujours tournée vers l'axe des x^ quand j' et j~ ont le

même signe, les axes étant rectangulaires.