PLANES

Différentielle de Taire d'une courbe plane. — Des aires considérées comme limites d^une somme de parallélogrammes. — Applications. — Rectification d'un arc de courbe plane. — Différentielle d'un arc de courbe. — Limite du rapport de l'arc à sa corde. — Nonveanx théorèmes sur les arcs de courbe considérés comme limites.

Fig.

DIFFÉKEHTIELLE DE l'aIRE D^UHE COURBE PLAHE.

207. L'aire comprise entre une courbe plane CM, une ordonnée fixe CA, une ordonnée quelconque MP et

Taxe des abscisses Ox, est une fonction de l'abscisse OP = x du point M, puisqu'elle varie quand on change le point P. Proposons* nous d'en chercher la différentielle. Soit CAMP = II. Nommons Au la surface MM'PP', répondant à un accroissement très-petit PP'=Ax de l'abscisse. Si l'on mène les droites MI et M'K parallèles a Ox et terminées aux ordonnées MP et M'P', comme ou peut toujours prendre le point M' assez rapproché du point M pour que les ordonnées soient constamment croissantes ou décroissantes de M en M' (et ici, pour fixer les idées, nous les avons supposées croissantes), on aura

PMM' P' > PMIP' et PMM' P' < PKM' P' ,

c'est-à-dire

Au > / A;r et Aie < (/ -h Aj) Ax, OU

Att

DIX- SEPTIÈME LEÇOIT. 209

De là, en passant à la limite,

-T- 1= /, ou du rzr jr/jr.

208. Quoiqu'on puisse parfaitement admettre qu'en prenant le point M' assez voisin du point M les ordonnées seront toujours constamment croissantes ou décroissantes de M en M'^ cette hypothèse n'est pas nécessaire à la démonstration. Il sufGt pour s'en convaincre de reprendre les raisonnements en remplaçant partout y et j^4- ùky parj^i et j^j,^i étant la plus petite et^*! la plus grande des ordonnées, dans l'intervalle où Ton fait varier l'abscisse.

209. Le même mode de démonstration convient au cas des axes obliques, avec cette seule différence que l'accroissement Au est alors compris entre les aires de deux parallélogrammes dont les côtés sont parallèles aux axes, et comme l'aire d'un parallélogramme est égale au produit de deux côtés adjacents multiplié par le sinus de l'angle qu'ils font entre eux^ on a, 9 désignant l'angle

des axes,

du=:ydxs\ïi^.

DES AIRES CONSIDÉHÉES COMME LIMITES d'uSîE SOMME

DE PAliALLÉLOGRA.MM£S.

210. Dans le cas des axes rectangulaires, la surface ÂBCD est la limite d'une somme de rectangles intérieurs,

formés en menant par les points C, E, F,. . ., M, M', etc., pris sur la courbe, des parallèles à Ox telles, que chacune soit terminée à l'ordonnée du point suivant (Tun de ces rectangles serait, par exemple, MIP'P), et Ton suppose que ces

Stiïbii. — An,, I. I^

2IO COURS D'AIVÀLTSE.

points se rapprochent indéfiniment les uns des antres, en même temps que leur nombre augmente sans limite.

Supposons d^abord que les ordonnées soient constamment croissantes du point C au point D. Soient x eX, jr les coordonnées de Tun quelconque des points de la courbe, M par exemple; soient x + Ax, j-r-ù^y les coordonnées du point suivant M'. On aura

et si Ton désigne par Z(j'Ax) la somme de tous les termes analogues à j^Xj c'est-à-dire la somme de tous les. rectangles intérieurs de CÂ à BD, en posant surf ACDB = u on a évidemment

.Maintenant, si l'on mène, par chacun des points considérés sur la courbe, des parallèles à Ox, terminées aux ordonnées des points précédents, on formera des rectangles extérieurs analogues à

PKM'P' = (/ -f- A/) Ax = jAx -J- A/ Ax;

et comme ÂBCD a une surface plus petite que la somme de ces rectangles, on a

K<2(jAx)-f-2(AjAx);

par conséquent,

u — 2(jAx)<<2(A/Ax).

Mais comme, à mesure que le nombre des divisions augmente, Ay tend vers zéro, il résulte d'un principe démontré (16) que I!,(AyAx) tend aussi vers zéro : donc

On démontrerait de même que u est la limite de la somme des rectangles extérieurs.

Le raisonnement reste le même lorsque les ordonnées sont constamment décroissantes depuis C jusqu'à £) - le

DIX-SEPTIEME LEÇON. 21 f

théorème que nous venons de démontrer est donc vrai quand les ordonnées varient d'une manière quelconque, car on pourra toujours partager Taire totale en parties dans lesquelles les ordonnées soient assujetties à constamment augmenter ou diminuer.

APPLICATIONS

2H. i« Soit

Téquation d'une parabole rapportée à son axe et â la tangente au sommet.

Si surf OMP = u, on a

Or,

Donc

durzydx^=^ \lipx . dx = ^2/? , x ' dx.

x' .dx :r=i ~d.x* •

du z^- ^sj'ipd.x^ --<^( "5 V^2/?.ar'

Fig. i8.

De là il suit que

u= -'\j7.px^ H- C;

mais, pour x = o, on doit avoir M = o ; on a donc C = o, et

cVst-à-dire que le segment OMP est égal aux deux tiers du rectangle OPMQ.

Il est également facile d^ évaluer la surface comprise entre un arc MCM' de parabole et sa corde. En eiTet, si l'on mène la tangente CT parallèle à MM', et, par le point de contact C, le diamètre CDL, on trouvera par la même méthode , en posant CD = x, MD=./ et

Si 13 C01}RS d'ànaltse.

TCL = (?,

surf CMD r= ^ xy sin ô = ^ CDMT, d'où

surf MCM' = I */ sin Ô — - MTSM'.

, a® Soîl x^ = w* réquation d'une hyperbole rapportée

i ses asymptotes. Nommons u Taîre du segment ACMP,

Fig, 19. symptote O x, l'ordonnée CA

du sommet, et l'ordonnée variable MP. On aura

dx durrz^y sin ô</x =: /ii^sin 0 —

r... /7f'sînG</.lx.

Donc u et m^sinO-lx ne peuvent différer que par une constante C^ par conséquent,

u —- /ii*sin0.1jr -+- C.

Pour trouver C, faisons x = OA = m-, on aura

uzzzo ou o =^ OT'sinô.lm -f C;

donc

C= — OT*8in0.1m,

et, par suite, on aura

U-— m'sine.lx — m»8inô.l/?i=^ w*sin9.1 ( — )•

Si Ton avait m = i et 0 = 90 degrés, l'hyperbole serait équilatère, et Ton aurait m = Ix, c'est-à-dire que les aires considérées seraient les logarithmes népériens des abscisses correspondantes,

DIFFÉRENTIELLE d'uN ARC DE COURBE.

212. On ne peut se faire une idée nette et précise de la longueur d'une courbe qu'en nommant ainsi la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée inscrite

dans cette courbe, lorsque ses côtés sont de plus en plus petits, et que leur nombre croit jusqu'à Tinfinî. Il devient alors nécessaire de démontrer que ce périmètre a réellement une limite déterminée dans tous les cas. Soit CD un arc de courbe plane, rapportée à deux

axes rectangulaires Ox et Oy. Inscrivons dans cet arc un contour polygonal CEF...MM'...D5 soient OP — jc, MP = j les coordonnées du sommet M, et X 4- A jc, j^ -h Aj' celles du sommet suivant M' : on a

Fig. ao.

Si l'on faisait Ax ou PP'= o, — deviendrait --• On

' i^jc dx

doit donc avoir

d s'évanouissant avec Ax: par conséquent,

MM' — Ax

En remplaçant successivement, dans cette équation, X eijr par les coordonnées de tous les sommets du contour polygonal^ depuis le point C jusqu'au point D, on aura les longueurs des côtés correspondants. De là résulte, si l'on appelle P le périmètre de cette ligne brisée.

Pour avoir la limite de P ou la longueur de Tare CD, re-

'2 1 4 COUBS d'âitaltsr.

marquons d^ abord que, a étant une quantité infiniment

petite et ^ Ax ayant une valeur finie qui est AB, il résulte du théorème démontré an n® 16 que

lim \^(aA4r) -- O-

Maintenant 1/ ■ + ( ^ ) ^st une fonction de jc, qoe

Ton peut regarder comme la longueur de l'ordonnée NP d'un point N répondant à la même abscisse x = OP. Si Ton fait la même construction pour tous les points de la courbe CD, on aura une courbe GNH, dont Téquation est

d'après cela, on a

et, par suite, à cause de lim y^^(aAx) = o,

P-lini2(YA*).

Or ^(YAx) a une limite déterminée qui est Taire

AGNHB. Ainsi le même nombre exprime la longueur de l'arcCD et Taire AGNHB.

213. Considérons maintenant rabscisseOP = x comme variable. La longueur de Tare CM est une fonction de ac dont on peut chercher la différentielle.

Soit donc CM = S] comme s = aîreAGNP, on a

ou enfin

ds = sjdx^ -+- dj'\

Cette valeur de ds permet d'exprimer très-simplement le sinus et le cosinus de T angle que la tangente au point M fait avec Taxe des x. En effet, si a désigne cet angle, on

a tanga = - -• Far conséquent.

sina =

àr

^dx^ ~f- dy

=- — » COSa == — :=

dx ds

LIMITE DU RAPPORT DE L AUC à SÀ CORDE. — NOUVEAUX THÉORÈMES SUR LES ARCS CONSIDÉaÉS COMME LIMITES DE POLYGONES.

214. La limite du rapport d*un arc quelconque à sa corde est Vunité.

En effet, considérons un accroissement quelconque de l'arc CM [fig* 22 ^ p. 217). Soit MM'= A5, on aura

arcMM^ MM'

tiS

^Ax^ -h A^'

Lorsque ùix s'annule, — ^ et i/ iH- ( -^ j deviennent

,. arc M M'

21 5< Si cef, . .dest un contour polygonal d'un même Fig. 21. nombre de côtés que le contour

^ CEF. . . D ; si, à mesure que les

sommets C, E, F, . . . , se rapprochent de plus en plus, les côtés ce, <?/*, etc., tendent de plus en plus à devenir égaux aux côtés correspondants CE, EF, etc., en même temps que le nombre de ces côtés va en augmentant jusqu'à

2l6 COCftS D*AjrAI.TSC.

rînfini, le contour polygonal cef. . . d ann même limite que le contour CEF. • .D, c^est-à-dire la longnenr de l'arc CD.

En efler, soient a, 3, y,..., / les côtés dn contour polygonal cef...d^ et a', i', 7^ --- 9 *-' les côtés correspondants du contour CEF . .. D. Appelons L la longueur de cef. ,,d

et L' celle de CEF — D. Soient -7 le plus petit et -7 le

plus grand des rapports entre les côtés correspondants des deux contours polygonaux. On sait que la valeur du rapport

est toujours comprise entre — et — » c'csl-à-dîre que Ton a

Or, lim -7 = 1 el lim --; == i . Donc lîm --; = i ,

limL = limL'.

210. Voîcî encore un théorème du même genre, et que Ton démontrerait d'une manière analogue : Si Ton mène entre les deux ordonnées extrêmes CA, DB un nombre indéfini de parallèles à Taxe des y^ puis que Ton inscrive entre ces parallèles d'autres lignes droites, tangentes à la courbe, la somme de ces dernières tend vers une limite qui est encore la longueur de la courbe donnée, même quand elles ne forment pas une ligne brisée continue.

DIX-HUITIÈME LCÇOir.