SOUS-NORMALE
219. Dans ce système de coordonnées, la sous-tangeDte est la perpendiculaire OT (fig- 23, p. Sf^) menée au rayon vecteur OM par Torigine, et terminée à la tangente MT. La sous-normale ON se mesure sur la même droite, i partir du pôle O, jusqu'à la rencontre de la normale MN au point N. D'après ces définitions^ S| et S. désignant ces deux droites, on aura
s, = 0T — riangfA-
S. :r- ON
dr dr
tangfA d^
DIFFÉRENTIELLE o'uN SECTEUR.
220. Désignons par u (fig. 23 , p. 21 7 ) un secteur POM, crompris entre deuic rayons vecteurs OP et OM. Soit MOM' = Au. Prenons l'arc MM' assez petit pour que, de M en M', les rayons vecteurs soient constamment croissants ou décroissants. Pour fixer les idées, supposons-les croissants. Décrivons du point M, comme centre, les arcs de cercle MI, M'K, terminés aux rayons vecteurs OM = r et OM' =: r' : on aura
OMI<Aa<OM'K, ou bien, comme OMI =~r*M et OM' K' = i /•'* Û9,
I I Att I
-r'»A0, ou ~/-'<7X<-'^''
1 I . I . ^ Au
-r»AÔ<Aa< . -, ^- -.Au --
Or, à la limite, r' devient égal à r\ donc
du i ^ , ï • jA
- = - r', ou du=z - r^dB.
dB n 2
aao COURS d^ analyse.
221. Ce calcul conduit à une conséquence souvent utile. On a trouvé plus haut (n^ 218)
tangOMT^^-^"-^^, xax -r- -fdy
et aussi (n*>217)
tangOMT— — ;
on aura donc
xdy — ydx r^dO
xdz -r-jrdjr rdr Mais, à cause de
on a
xdx -4- jrdjr =: rdri
donc
xdjr — jrdx -- r^dB.
Or -r^dO est la diflerentielle du secteur LOM: donc
celle diflerentielle est aussi égale à - (xdy — ydx).
On pourrait d'ailleurs obtenir ce résultat de la manière suivanle. On a
^=:tange; d'où ^ ^
X x^ cos'ô
ou
Or on a donc
xdy — ydx =^ «/O.
^ '' cos»ô
x^ 1= r» cos'ô;
- ixdy — y(ljc) = - r*«fO.
DIFFÉRENTIELLE d'uN ARC DE COCRBB.
222. Considérons Tare CM = 5 (Jig* 23, p. 217), et soit MlW = As son accroissement.
DIX-HUITIÈME LCÇOn.
Dans le triangle M'IMI on a
lîf^sinMM'l' d'où, a cause de MI = arsin - Ad,
MM'
2 sinMIM'
arc MM'
sinMM'I
et, en passant à la limite,
i=— : -. — î d OÙ ds=-. — ;
ds sinft donc [(217), formules (a)]
SlDfi
De là résulte
rdB
dr
^ ds ^ ds
223. On arrive encore à la diOerentielle de Tare par une transformation de coordonnées ^ on a
€[s=i \jdx^ -h /Vj'
:= ^{dr cosB — /Y/OsinO)' -+- (^rsinG -f- rdBcosQ)*^
ou
ds=\/dr^-hr^dQ*.
iPPLICATIOlfS.
224. 1° L* équation d^une ellipse, quand on prend pour Fîg. 24. P^'® '® foyer de droite F et le
grand axe pour axe polaire, est
dr
i -h <rcosd
De là on tire
^/7sin0r/fl dB (i -f- tfcosO)*^
(i-+-ffco*ô)» dr cpsinB '
222 COU as D ÂlfALTSE.
d'où
2® La spirale d^Archimède,
La courbe part du pôle et touche en ce point Taxe polaire. Pour la construire, du pôle comme centre avec
Ponité pour rayon, on décrit un cercle, dont Tare compris entre un rayon vecteur et Taxe polaire a pour longueur 0. En portant celte longueur, multipliée par a, sur le rayon vecteur à partir du centre, on aura un point de la courbe.
Comme r croit indéfiniment avec 6, la courbe fait une infinité de révolutions autour du pôle.
Ou Si dr= ado, d'où
dO rdB r ^ tang a = r-— — ---- = - = 0 ^^ dr adB a
dB dr
S, = ON= -^.=a.
dr^ dQ
Ainsi la sous-normale est constante, ce qui offre un
moyen très-simple de construire la tangente.
3^ La spirale hyperbolique, ainsi nommée parce que
son équation
rO = a,
est analogue à celle de Thyperbole ary = m*.
De Téquation de la courbe on lire '' = r • pour 6 =: o, on a r =r 00 ,- pour des valeurs très-petites de 0, /* est fort
DIX-nUITlkME LEÇON. 2 2 H
grand, et diminue à mesure que 0 augmente ; pour 6=00, on a r=: o. Par conséquent, la courbe fait une infinité de
révolutions autour du point O sans jamais pouvoir l'atteindre; ce point est un point asymptote.
La courbe a une droite asymptote parallèle à OA; car si , d'un point M pris sur la courbe, on abaisse une perpendiculaire MP sur l'axe polaire, on aura
BIP = OM smô = rsinO =^a - - .
Donc, lorsque 6 tend vers o, la distance MP tend vers a,
sinO - n . r
puisque --— tend vers 1 unité.
On a ensuite
taogfx r- — - = — 0,
tir a
ar
La sous-tangente est donc constante. Cette propriété ofTre un moyen commode pour mener la tangente par un point pris sur la courbe.
4^ La spirale logarithmique, dont l'équation est
r=zab ,
En changeant Taxe polaire sans changer le pôle, on peut mettre Téquation sous la forme
En effet, posons a = e*, h = e'", alors
224 COU AS D*ÀHALTSB.
Soient OA le premier axe polaire, et M un point de la
courbe. Prenons nn axe polaire OA', qui fasse avec le premier
nn angle AOA' = — • Alors, si
Tëquation deviendra
MOA= e, en posant 6 h- - = 6',
Considérons donc l'équation r = c*" ^ : pour 6 = o, on aura r = i , et si Ton fait croître 0 indéfiniment, r croîtra indéfiniment. Par conséquent, la courbe fera, a partir du point A {fig* 3o), pour lequel OA = i, une infinité de révolutions. En donnant à 9 des valeurs négatives, r diminuera indéfiniment; donc la courbe fera encore à partir du point A, mais dans l'autre sens, une infinité de révolutions, en s' approchant toujours du pôle.
On aura rfr= nuT^dO = mrdO\ par suite, tangfjc = — i
Fîg. 28. "'
quantité constante. Donc, dans
la spirale logarithmique , la tangente fait un angle constant atfùc le rayon vecteur qui passe par le point de contact.
La sous-tangente sera — ? et la sous-normale mr.
L'extrémité T de la sous-tangente décrit une spirale égale à la première, mais située différemment. Soit OT = p, on a
Or, en posant TO A = — B\ on aura 6 = 6'
-• Par suite,
DIX-HVITIÈMB LEÇON. 225
et, en prenant un nouvel axe polaire incliné sur le premier d*un angle égal à , puis posant
on aura Téquation
qui représente une spirale égale à la première.
L'rxlrémiié de la normale décrit aussi une spirale ^gale à la première.
DES COOnnONMÉES BIPOLAIRES.
!2o. Dans ce système de coordonnées, la position d'un
poïiit sur un plan se détermine par les distances r et r' de
ce poiiu à deux points fixes A et B.
Soit/(r, r') =o Téquaiion de la courbe CM, et pro-
F'g. 29. posons-nous de lui mener une
tangente au point M.
Considérons, pour cela, la sécante M'MS. Menons MH perpendiculaire à AM'.
Soient
AW = r, BM=r'; AM' = r -h Ar, BM' — r' -+- Ar'; Al AM' =: A0, arcMM' = A.f, AMT — a, BMT — €. On aura
onbi
cosAM M = =. X ,
MM' Aj MM'
en
cosAM'Mz=
Or
Ar-«- 2rsin^- A9
arc MM'
