TUÉOUIK DU CONTACT DES COURBES PLANES

(Uintuol «!• (Uvort ordroi dot courbos planoi. — L^ordre de ce contact est liuiii|)0iuliiiil du riiuk dot axe». — Caractères distiiictirâ des conixts d'ortln» |>«)r ou d'onlro impair. -~ Des courbes osculatriccs. — Du ccrc> usouUltfUr. — Appliculiun aux lotHioiis coniques.

GONTACr l)K niVERS ORDIIES DES COCRBES PLASIS.

S47. SouMil tleux courbes CMN, C'M'jN' aTant

> <^l l'êunt Je* fotuMÎons explicites ou împlîcîi»** :•; x. Sup|Hv>ons *j«e ce$ \leux ctniibos aîenl en M u-r ariai: ^XMUiuiuu et cvMupJirotis les orxlonnêes QN ei i^> ii:> Jeux \vuiK$» ivjKMuUnl à une même ab>eî5se. .;.uis e \\MMtutj:e vlu jx^Iui XL S^^îoni OP = x cl PQ = / ju i

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DIX-UBUVIEME LEÇOR. 229

on a

\dx dx j i,i\dx^ dx' J

Maintenant, si l'on suppose que les deux courbes aient au point M une tangente commune MT, on aura en outre

=r -— , et régaliié précédente deviendra

dx dx

Il est facile de démontrer que la courbe MN' approche plus de la courbe MN que toute autre courbe MN'^qui, passant par le point M, ne serait pas tangente à MT.

En eflct, soit j^" = 'j/ (x) Téquation de MN''; on aura

\dx

dx

S s'annulant avec li\ donc

f TT2' ■Z?"~"5?' "^"j

WJN'" ^ dy dy" ~ *

dx dx

Donc, quand h tend vers o, on a

bm -^. - o.

Ce qui montre qu'en se plaçant suffisamment près du point M, NN' est moindre que NN'', et par suite que la courbe MN' est située entre MN et MN".