Généralement, supposons que l'on ait

dr' __ dy d^y d^ d^ (VTy^

dx dx dx^ dx^ dx^ cLx^

23o COURS D^AITALYSB.

Il en résulte

a étant une quantité qui devient nulle en même temps que h. Je dis que, dans les environs du point M, la courbe MN' qui remplit les conditions (a) approche plus de MN que toute autre courbe MN" qui ne les remplirait pas toutes.

En effet, sohy^ = \^ [x) l'équation de MN", et supposons que les m premières dérivées de j " soient égales aux m premières dérivées dej^, m étant moindre que n : on aura

^ ^ i.a.. .(//i-f-i) \£/j:«-^* dx^-^' j

6 étant une quantité qui devient nulle en même temps que /i. Il résulte de là que

Or, comme h décroit jusqu'à o, a et 6 tendent de plus

en plus vers cette limite; il s'ensuit que, lorsque A est

NN' assez petit, le rapport -——7 est sensiblement proportionnel

à A""**, et, par conséquent, peut devenir plus petit que toute quantité donnée, puisque n est plus grand que m. Si l'on convient de dire que les deux courbes MN' et MN ont un contact de l'ordre w, et par suite que les deux courbes MN et MN" ont un contact de l'ordre m, les résultats auxquels nous venons de parvenir peuvent s'énoncer en disant que, par un point commun à deux courbes gui ont un contact de r ordre n, on ne peut faire passer entre ces deux courbes aucune autre courbe ayante a\^ec Vune des deux proposées, un contact d^un ordre inférieur au /i***"'.

DIT-NEUTIÈME LEÇON <