NN

/ dy p\"^^ 1.2.3. ..(/i-hi)

232 couns d'àhâltse.

Or, quand h tend vers zéro, , a et 6 tendent aussi vers

NN' zéro. On voit donc que le rapport tiswttv;^ tendra vers

une limite finie.

On peut donc dire que si le contact est du /i'*"* ordre,

NN' le rapport i^— ^ sera un infiniment petit du n**""' ordre.

La réciproque est d'ailleurs ëvidente.

230. Supposons maintenant que Ion rapporte la courbe à d'autres axes; par le point N menons une parallèle au nouvel axe dos y. Soient w' le point où celle parallèle coupe la courbe j^' = y ( jc) et w'' le point où elle coupe la droite Mw''. Pour démontrer que Tordre du coniacl ne

change pas, il suffit de prouver que le rapport ',0"^

tend vers une limite finie. Car — — = sera, dans ce cas, un

infiniment petit du n'*** ordre, et, par suite, le coniact

sera encore de Tordre n.

Or, si Ton mène W n\ le triangle NN'/»' donnera

NN' sin/f'

N /i' sin N'

Le point N s'approchant indéfiniment de M, le point K' tendra vers N, ainsi que le point /*', et, par conséquent, N' et n' se confondront à la limite. Donc n' N' tendra vers la tangente au point M, et, par suite, le rapport des sinus des angles /l'et N' aura une limite finie. D*ailleurs, le

NN" rapport --—7 reste constant quand le point N s'approche

du point M, puisque le triangle variable Nn''N"resie toujours semblable à lui-même.

On a

NN'^N,/-^!^ et NN":=N/,''^.

smN' smJS*'

BIX-KEUVIÈMB LEÇON.

Delà

NiV

ns «')•+■• (N//","-^'

sin/î'

UinJN'V

d'où Ton déduit que le rapport -^-jr^ tend vers une limite finie; ce quMl fallait démontrer.

caractèhes géométriques d'uw contact d'ordre pair

ou d'ordre impair.

231. Si les deux courbes CMN, C'M'N', quî ont respectivement pour équations

ont au point M (a:, j) un contact de Tordre /}, les /i + i conditions suivantes seront remplies :

djc"

([jf"

Dans ce cas, on a, comme nous Pavons vu,

Fig. 3q.

^ ^ 1.2. . .;/ï-+-ij \^/x"+'

Mais, jusqu'à présent, nous n'avons fait attention qu'à la valeur absolue de NN' ou de QN— QN'. Nous allons maintenant avoir égard au signe de cette différence. Si n est pair, n-f- 1 élant impair, //""'■', et par suite

QN — QN^ changera de signe avec /z, et l'on en conclut que celle des deux courbes qui est au-dessous de l'autre, à gauche du point de contact, est située au-dessus à droite de ce point, en sorte qu'en ce point les deux courbes se traversent mutuellement, comme on le voit dans la figure.

234 CODHS D^AMILTSK.

Si n est impair, alors n-\-i étant pair, en prenant h

assez pelît, le signe de QN — QN' ne cbangera pas avec

Fig. 33. celui de A, c'est-à-dire qu'aux

environs du point M les deux courbes ne se traversent pas.

Donc, quand deux courbes ont entre elles un contact d'ordre IMPAIR, V une des deux embrasse Vautre, et deux courbes se trax^ersent mutuellement au point de contact^ quand elles ont un contact d^ordre pair.

Une ligne droite tangente à une courbe a en général avec elle un contact du premier ordre, c'est-à-dire d'ordre impair; aussi est-elle, au point de contact, tout entière d'un côté de la courbe. Si le point de contact est un point d'inflexion, alors le contact devient d'ordre pair, et la tangente traverse la courbe.