Soit

DES COURBES OSCULATRICES.

^[jC.jr'y û, ^, C,..., /)i^O

une équation renfermant n+i constantes arbitraires, a, by c^.,,^ l^ et qui, suivant les valeurs attribuées à ces constantes, convient à une infinité de courbes différentes. On peut disposer des indéterminées a y i, c,..., /, de manière que la courbe (i) ait un contact d'un ordre déterminé, du n'^""' au plus, en un point donné (x,^), avec une courbe donnée par Téquation

Si le contact est du n'*"" ordre, les n suivantes seront remplies :

(a) y=jry

dy dy d^y d^y

dx

dx

dx'

dx

I conditions

dj^ djc^

DIX-NEUYIÈKB LEÇON. ^35

On obtiendra - — > -r^v» - — -^ en différentiant n fois de suite Téquation (i), et —f ;i-^>"*> -j-j^^ en difleren-

UJC QJC (UT

liant /i fois de suite l'équation (2). Les tz + i cqua< tiens (a) détermineront les n -Hi constantes inconnues, a, (, r, • . ., en fonction des coordonnées du point de contact et des coefficients de l'équation (2).

Quand on détermine les constantes a, £, c, . . . , /, de manière à obtenir le contact de Tordre le plus élevé pos* sible, qui est égal au nombre des constantes moins 1, ou dit que parmi toutes les courbes de même espèce représentées par Téquation (1) celle qui répond à ces valeurs des constantes est osculatrice à la courbe j^ :=^f(x).