Comme première application, considérons la droite
(l) y := flX -f- 6,
et la courbe j^ z=J{^x).
L'équation de la droite ne renfermant que deux constantes arbitraires, on ne pourra établir qu'un contact du premier ordre. Il faudra pour cela satisfaire aux deux
équations
dr' dy
Y -zY et ou a z=i —- '
^ -^ dx dx
Si Ton remplacej^^parj^ dans féquation (1), ou aura
d'où Ton tire
o -.- y — ax z=zY X,
L'équation (i) deviendra alors
ce qui est bien Téquaiion de la tangente au point (jr, /).
36 COURS d\malyse.
DU CERCLE OSCULATEUR.
234. Appliquons encore les mêmes considérations au cercle. Soit en coordonnées rectangulaires
Téquation d'une courbe. Puisque Téquation générale du cercle contient trois constantes arbitraires, le cercle osculateur sera celui qui aura avec la courbe donnée un contact du second ordre. Soit donc
l'équation de ce cercle inconnu.
On en tire par deux différentia lions successives :
rfr'* //V
Comme on doit avoir
dy' dy d^y d'y
dx dx dx^ dj^
si Ton remplace dans les relations (i), (a) et ^) j\ — ♦
d'^r' . dy d^y ,,
---yî respectivement par ^% - ^ — ^> on aura pour déterminer \y », p les trois équations
(5) (^-ç) H-ir-n) ^^^o.
X ci jr étant les coordonnées du point de contact.
DIX-NEUVIÈME LEÇOIf. 23^
On tire de ces équalions :
dy^ fi Y 1 df
dx^ dx \ dx^ .
dx^ dx^
et enliu
d'où
dy^y / dfy
dx
dx'
235. Le numérateur de cette expression étant positif, il faut prendre le signe + ou le signe — suivant que
~ est positif ou négatif, si Ton veut avoir la valeur absolue de 6.
d^y L'équation (6) montre que r, — y^^'T'i ^^^^ toujours
ux
de même signe. Comme tj — J'est la différence entre l'ordonnée du centre du cercle et l'ordonnée du point de contact, il en résulte que le centre du cercle osculateur est toujours dans la concavité de la courbe.
La courbe et le cercle osculateur ayant la même tangente, le centre du cercle osculateur est sur la normale à la courbe au point ( J?i^) ; on peut encore le conclure de 1 équation (5) mise sous la forme
d'où résulte que la droite dont le coeffîcient angulaire est
" j c'est-à-dire la droite qui unit le point de contact
238 COCRS D^AVALTSB.
au centre du cercle osculateur, est perpendiculaire & la tangente commune.
Le cercle osculateur ayant avec la courbe un contact du second ordre en général, par conséquent d^ordre pair, il s'ensuit qu il traverse la courbe, excepté en certains points particuliers où le contact est d^un ordre supérieur au second. Dans ce dernier cas, si le contact est d*ordre impair, la courbe et son cercle osculateur sont du même côté de la tangente commune.
On appelle soavent le cercle osculateur cercle de couT' bure ; son centre et son rayon centre et rayon de cour^ bure. Nous en verrons plus tard la raison.
Fig. 34.
