Comme exemple, proposons-nous d'obtenir le
rayon de courbure MK d'une section conique, en un point quelconque.
Cette courbe rapportée à l'un de ses axes de figure et à la tan- ^ gente au sommet a pour équation
j^ =z zpx -+- qx^.
En différentiant deux fois cette équation, on ti*ouve
dr p -\- qar
dx
x^ \dx)
dx
dr
et, en mettant pour --j- sa valeur,
fit y p2 | 2/7<7.r -+- q*x^
dx^
ou enfin
DIX-ltEUVlIlME LEÇON. 289
Par suite on a, en valeur absolue,
Le numérateur de p est le cube de la normale MN. En eiïet, le triangle rectangle MNP donne
d'où
Donc
Ainsi, en tout point d^une section conique, le rayon de courbure est égal au cube de la normale, divisé par le carré du demi-paramètre.
Il est, du reste, facile d^obtenir la valeur de p en fonc* tion seulement de Pabscisse du point M. En effet,
dy jr^=^pjB-hqx^ et X^^=P'^9'9
dx
on a, par suite,
«* = 2/m: -f- yx' -h ( ;? H- 7 j: ) ' =r ( 7 -+- y * ) x* -t- a ^^jc -4- 2 /?JC -f- />*.
Donc
>3(> corns d^amalysb.
DU CEaCLE OSCULATEOR.
234. Appliquons encore les mêmes considérations an cercle. Soit en coordonnées reclangulaircs
Téqualion d'une courbe. Puisque Téquation générale du cercle contient trois constantes arbitraires, le cercle osculateur sera celui qui aura avec la courbe donnée un contact du second ordre. Soit donc
l'équation de ce cercle inconnu.
On en tire par deux dilTérentiaiions successives :
Comme on doit avoir
dx dx dx* dx^
si Ton remplace dans les relations (i), (a) et {^)jf\ — »
d^r' . df d^r .,
—"Y? respectivement par ^, - ^ -—'t on aura pour déterminer \y yj, p les trois équations
(4) (*-çr^-(r->î)'--pS
(5) {^-\) H-(r- fl) ^-^o»
X Gtjr étant les coordonnées du point de contact.
DIX-MBUVIÈME LEÇOIf. 2'S'J
On tire de ces équations :
€iY^ dr ( dr^\
(fx* , (ix \ dx* '
dx^ lî?
et CDliu
d'où
dx'
235. Le numérateur de cette expression étant positif, il faut prendre le signe + ou le signe — suivant que
-~ est positif ou négatif, si l'on veut avoir la valeur absolue de 6.
L'équation (6) montre que r^ — J^^~r~i s^"* toujours
de même signe. Comme » — y est la différence entre l'ordonnée du centre du cercle et l'ordonnée du point de contact, il en résulte que le centre du cercle osculateur est toujours dans la concavité de la courbe.
La courbe et le cercle osculateur ayant la même tangente, le centre du cercle osculateur est sur la normale à la courbe au point {3C^j)\ on peut encore le conclure de l'équation (5) mise sous la forme
d'où résulte que la droite dont le coefficient angulaire est " -y c'est-à-dire la droite qui unit le point de contact
2/i2 COURS D ANALYSE.
grand côté du triangle KiIK, et comme ce côté tend vers zéro, il en sera de même de IK. Par conséquent le point 1 se meut sur la droite fixe MK en se rapprochant indéfiniment de K, que Ton peut considérer comme le point d^'ntersection de la normale MK et de la normale in6niment voisine.
240. La différence entre deux rayons de courbwe MK et MiK] est égale à Varc KiK rfe la développée, compris entre les deux centres de cowbure correspondants.
Pour le démontrer, différentions Téquation
en y regardant y^ $, tî et p comme des fonctions de la variable indépendante x. Il vient ainsi
pdp=: {a:—i) (cix - di) -h (X - r^) {dx - dr.), OU
ce qui, d'après Téquation (i) du n^ 237, se réduit à
pe/p = — (x — Ç ) f/Ç — (^ — n) fl^Tj ,
d'où Ton tire, en désignant par a Tare FK,
dp Ç — T d^ n — y dri
lia p d(T p dv
Mais ]e second membre est le cosinus de Tangle que la
droite MK fait avec la tangente à la développée au point
K. Comme cet angle est nul, son cosinus est égal à Tu-
nité, et Ton a
dp ^=1 d<r»
De cette équation on conclut
p = a -r- Cy
G désignant une constante *, on aura de même
p, = ff,4-C:
donc
p — pi^ff — a, i^arcFK — arcFK, = arcRK|.
241. On peut aussi concevoir cette propriété comme ane conséquence de ce que la développée est le lieu des Fig.36. intersections successives des normales à la courbe donnée. En effet, remplaçons un petit arc KKi de la développée par sa corde, et supposons que cette ligne prolongée rencontre la courbe en M. La droite K.M différera très-peu de la normale KN menée par le point K, et KiM très-peu de la normale K|Ni menée par le point Ki, en sorte qu'on aura, en négligeant des infiniment petits du second ordre,
KK, ^KM — K.M z^KN — K,N..
C'est cette propriété de la courbe FK qui lui a fait donner le nom de développée. En efTet, imaginons un fil dont une partie soit enroulée sur FK, et dont l'autre Fig. 37. partie, tendue suivant la tan-
gente KiMi, se termine en Mi sur la courbe CM. Je dis que si Ton déroule ce fil en le tenant toujours tendu, son extrémité r décrira la courbe CM. Car supposons que la partie rectiligne 5oit maintenant dirigée suivant la tangente KM, et que Textrémité aboutisse au point G : on a
GK=rM,K,-+-K,K,
puisque K, K est la partie qui est devenue rectiligne. Mais d'ailleurs on a aussi MK = Mj Kj -f- K, K. On aura donc GK = MK et G coïncidera avec le point M sur la courbe CM : donc l'extrémité du fil décrira la courbe CM.
24S. Une même courbe FK a une infinité de développantes, et pour les décrire il suffira d'allonger ou de di-
244 COUnS D^NALTSC.
minuer le GI d^une quantité arbitraire. Les tangentes à la courbe FK sont normales à toutes les développantes, d'où il suit que celles-ci ont 1rs mêmes normales et les mêmes centres de courbure: et comme elles interceptent sur leurs normales communes des longueurs constaoles, on peut, au moyen d'une développante, obtenir toutes les
autres.
243. Si une courbe est algébrique, les rayons de ses cercles osculateurs auront aussi une expression algébrique d'après les formules trouvées précédemment : par conséquent, un arc de la développée, qui est la différence de deux de ces rayons, aura, dans ce cas, une expression algébrique, et cette courbe sera recti fiable.
EÀYOM nE COURBURE ET DÉVELOPPÉE DE hk PARABOLE.
