On retrouve le même résullat par le calcul. On a

Substituons ces valeurs dans les équations

La première équation donne (/ — 7i) -^z=:o ou bien ^ajr — a{jr — u ) ^= o,

ou enGn

On tire de la seconde équation

ou, en remplaçant^ par sa valeur et transposant.

/ la

ou enfin, en faisant passer y} sous le radical, dont le signe

VINGT ET UniÈME LEÇON. 23J

doit être changé puisque n est négatif,

Substituant les valeurs (i) et (a) dans Féquation de la cycioïde,

x=z a arc cos ^ — y 2 flj^ — j^%

on a, pour Téquation delà développée,

Ç = rt arc cos

-h ^ — lan — ïj*.

Supposons maintenant qu'on prenne pour axes les droites Ex' et Ej'5 nommons x' et^' les nouvelles coor- Fify. ^2. données d'un point quelconque

N de la développée : puisque

* on aura

Ç= AD— DI=tta — j', „ r- NR — IR =r 7' — 2fl.

Substituant ces valeurs de Ç et de y} dans Téquation (4)9 l'équation de la développée par rapport aux nouveaux axes devient

a — j/= a arc cos

ou bien

=ia lit — arccos ) — y^a ajr' — y*,

ou enfin, comme deux arcs supplémentaires ont des cosinus égaux et de signes contraires,

y =r a arc cos 1 ^ j — ^^ay — y^.

Celte équation, comparée à 1 équation (3), montre que Stcbm. — An., I. 17

a58 COURS d'analyse.

la développée de la cjcioïde est une cycloïde égale, placée par rapport aux axes Kx^ Ej^', comme la proposée par rapport aux axes primitifs.