LONGUEUR D^UN ARC DE CYCLOÏDE

234. La ligne MN, double de HN, est le rayon de courbure correspondant au point M de la cycloïde développante, ou la tangente menée par le point N à la cycloïde AME développée de la première. De plus, au point A, le rayon de courbure est nul puisque la normale M H devient nulle pour ce point. Donc, comme un arc de développée est égal à la diflTérence des rayons de courbure extrêmes, on a

arcAN=MN = 2NH.

En revenant à la cycloïde proposée, on peut dire que Tare CM est égal à 2MG.

Exprimons maintenant cet arc en fonction des coordonnées de son extrémité.

On a J

arcCM=:^MG = 2v^2ci.MQ,

ou bien, puisque MQ = aa — j^

arc CM n=: 2 ^4^' — ^ojr.

So5. On peut encore parvenir à ce résultat par le calcul.

En effet, soit CM = 5 un arc compté k partir du sommet C; on aura

fis

Or on a.

donc

. 1 àx^

dx

dy-

sjlay-

*=d=rfr ^'"'

▼ IHGT ET UNIÈME LEÇON. aSg

Mais Tare CM dimiuue lorsque j" augmente \ on doit donc prendre le signe — , et écrire

donc

OU

jr=2 ^^a' — 7.ax -hC.

C est une constante que Ion détermine en faisan tj^ = aa, cequi donne 5 = 0, et, par suite, C = o. On a donc, comme plus haut,

arc CM n= 1 ^4 û' — 2 ay,