COURBURE DES COURBES PLANES
Expressioi) du rayon de courbure quand la Tariable indépendante est quelconque. — Application aux coordonnées polaires. — Théorie de la courbure des courbes planes. — Identité dtt cercle de courbure et dn cercle osculateur. — Applications.
EXPKESSlOrV DU HAYON DE COURBURE QUAND LA VARIABLE INDÉPENDANTE EST QUELCONQUE.
257. En prenant x pour variable indépendante, nous avons trouvé
Supposons maintenant que x et y soient fonctions
d'une autre variable f, et cherchons, dans cette hypothèse,
dy Texpression de p. On sait (92) que ~ conserve la même
/• d^r 2 . A 1 ' dxd^jr — djrd^x forme, et que -—j doit être remplace par -7-5 —
On aura donc
dxd'^y — dyd^x
eu bien
dxd^y — dyd^x
expression dans laquelle les ditrérentielles de x et de j' sont prises en regardant t comme variable indépendanle-
YINGT-DEUXIÈME LEÇON. â6l
Exemple. — Lacycloïde est représentée par T ensemble des deux équations
X =za[u — sintf), y=:a(i — ces it ).
De là on déduit, en prenant u pour variable indépendante,
dx = a(i — cosu)dUy d^x = asinudu^,
djr = asinudu^ d^jr = acosudu^»
Par conséquent,
dx* -f- dy» = (i — 2 costt H- cos^tt -h sin'tt)a*^tt% dxd^f — dyd^x = (cos« — cos'a — sin'«) «*£/«',
dx^ -4- df^ ==2(1 — cos«)a'i/tf', dxd^y — djrd'*xz=^ — (i — cosu)a}du^.
Par suite,
Or,
Donc
I ( I — cosa )' «»//«* y- , i
0 = 2 '-^ , , , , = aa V2 ( I — cos«) '
(I — CQ%u)à*du* ^ ^ '
î — COStt = -•
z=:ia y 2 i /- =^ 2 sfïayn
EXPaESSIOK DU RAYOII DE COURBVKE Elf COORDOMUÉES
POLAIRES
258. La formule (i) conduit à l'expression du rayon l?ig^^3 de courbure au point M, en
fonction des coordonnées polaires de ce point. Pour cela, menons par le pôle deux axes rectangulaires Ox et Oy, Soient
xOA=:a, OP--jr, MP = ^-, OM = r, MOA = ô,
262 COLAS d'analyse.
on aura
X =:rcos(0 — a), j =: rsin(Ô — a),
ou en posant, pour abréger, 0 — a = 0',
j: = rcosô', j = rsinO'.
De là on tire, en observant que dO' = rfO,
dx = dr ces G' — rdH sin 0',
dy = dr sinô' -f rdQ cosO', //^j- — ^Vcosô'— 2rfri/9siuO' — rt/ô*cosO', <f»j^ = ^»rsinG' -4- 2i/r^ô cosô' — n/G'sinO'.
On aura donc
dx* -f- dx'= dr^ cos'G'-l- r^sin» G' dB' -h dr* sin' G' -f- r»cos»G'rfO'
= û?r» ( sin» G' -+- ces' G' ) -^ rV/G»(sin'G'-hcos»G'),
et, toutes réductions faites,
(2) dx* -f- dx* = dr* -h r*dO*.
De même,
dxd*j' — djrd*x
= (c/rcosG'— rcfGsinG')(û?VsinG'-h2£/rc/GcosG'— rf/G»sin«')
— (rfrsinG'-+-rrfGcosG')(fl?'rcosG'— 2^rrfG sinG'— ri/G^cosO')
=i:£^'r(^/rsinG'cosG'— rrfGsin'G'— rfrsinG'cosG'— rrfGcos'G')
-h 2 rfr» (û?G cos'O'-f- r/G sin»G') -+- r> (sin» G'rfG>-i- cos'G'rfô'),
ou, en simplifiant,
(3) dxd*x — dfd*x = 2 dr*dQ — rdQd*r -f- r»e/G».
Substituant les valeurs (2) et (3) dans la formule (i))On obtient
(dr*-h rdB*V
^ ~ 2 dr*dB — rd*rd9 -+- r'^/G»' ou bien
dB* dB*
VINGT-DEUXIÈME LEÇON. a63
Ce résultat s'obtient d^ailleurs plus simplement en faisant coïncider Taxe Ox avec OM. 11 faut faire alors a = 6,
et l'on a
dx = dr^ dy = rd^ ,
d^jn z= d'r^ rdB\ d^y r= ^drd^.
259. On introduit quelquefois, au lieu du rayon vecteur r, sa valeur inverse dans Texpression du rayon de courbure. Soit
il en résulte
du ,. îrfi/' — ud^u
dr-=. -, d^rz=.
Donc
I 2 rftt' ttrf'// — 2</«* I \ d^U
/? "^ ^ Î7ô'2 "^ tt«rfe' tt» "^ tt» 5^
00 enfin
diû\
dJ^I
260. Exemples, i® Courbes du second degré. L'équation générale des courbes du second degré, rapportées à lun des foyers et à l'axe focal, est
I H- ecosO On aura, dans ce cas,
