P' \ P PI

ou bien

(l •+- 2tfCOsO-+-^)*

•^ '^ (l-heCQSG)*

a® Spirale logarithmique : r==ae'"^.

On tire de cette équation :

dr ^Q d^r mdr

dB dB^ dB

Substituant ces valeurs dans la formule (4)i on a

ou bien

Soient MK la normale et OK la sous-normale du point p. // considéré. Le triangle rectangle

KOM donne

MK = V^Om' h- OK*

donc

= ^r»-hr»Ung>OMK.

* Or, on a

tangOMK = col OMT = m ,

MK = r^i -h /w' = p.

Ainsi l'extrémité K de la sous-normale est le centre de courbure.

Pour trouver Téquation de la développée, prenons un nouvel axe polaire OB, incliné d*un angle a sur le pre-

VINGT- DEUXIÈME LEÇOIf. 205

mier. R étant Tun quelconque des points du lieu, soient OK = r' et KOB = e\ on aura

j ^. „,„jn9 ,

r zrz mr ^=:^ mae :

mais 0' 4- a = 9 H- -; donc Téquation de la développée

sera

r' = mae

mô'-+-r»j a — — 1

OU bien

Comme a est arbitraire, déterminons cette quantité de telle sorte que Ton ail

ce qui donne

me

liW-f-iwla — — |=iO, ou a=:

Téquation de la développée deviendra

On voit que la dé%^e/oppée est une spirale logarithmique égale à la première^ mais différemment placée.