DE LA. COURBURE DES COURBES PLÀHTES
261. On doit considérer la courbure d'une circonférence comme étant la même en tous ses points, et d'autant plus grande que son rayon fi est plus petit, ou que
la valeur inverse -^ est plus grande. Il est donc naturel de
prendre — pour mesure de la courbure du cercle.
On conçoit mieux cette déCnition si Ton considère un
206 COURS d'as AL Y SE.
cercle tangent à une droite en un point, et si l'on éloigne de plus en plus le centre sur la perpendiculaire à cette droite en ce point. Le cercle mobile, dans une de ses positions, sera compris entre la droite £xe et le cercle précédent, et, par conséquent, il s'approchera d'autant plus de la droite que son rayon sera plus grand.
Soient MT et M'T' deux tangentes à une circonférence
dont le rayon MK est égal à R, et soit HIM' = Cl). On aura
Fîg. 45.
arcMM'=R«,
puisque l'angle MKM' est ^al à HIM'; donc
R arc MM'
Ainsi la courbure d'uu cercle est égale à l'angle de deux tangentes divisé par Tare compris entre les points de contact.
262. Considérons maintenant une courbe quelconque CMM'U. Cétant un point fixe pris sur cette courbe, soient CM = 5, MM' = A5-, T l'angle MTx, t' l'angle M'T'x, formés par les tangentes MT et M'T' avec Ox, et Ar la différence de ces angles, c'est-à-dire l'angle HIM'.
Si la courbe était une circonférence de cercle, — serait
As
^^e- 'fi' sa courbure au point M, et ce
rapport serait indépendant de
Aj. Quand la courbe est quel-
conque, le rapport — » qui varie avec A5, est appelé la couT" bure moyenne de l'arc MM', et l'on nomme rajon de courbure moyenne le rayon d'un cercle dans lequel les tangeutes
VIKGT-DEVXIÈME LEÇOIV. 2G7
menées aux extrémités d*uu arc égal à A5 font entre elles un angle égal à A t. Le rayon de ce cercle est — •
Supposons maintenant que le point M' se rappiochc
At indéfiniment du point M : le rapport — convergera vers
•j-j qui sera dit la courbwe de la courbe au point M.
Concevons un cercle ayant la même courbure, et soit p son rayon : on aura
I dr fis
- = — ou p=-r' p as ^ dx
Si Ton prend sur la partie intérieure de la normale une longueur MK = p, le cercle décrit du point K comme centre avec MK comme rayon sera le cercle de courbure^ le rayon et le centre de ce cercle serout le rajon et le centre de courbure correspondant au point M.
On appelle angle de contingence Tanglc ^r formé par les tangentes menées aux extrémités d'un arc infiniment petit. On peut donc dire que la courbure d^une courbe en un point est égale à V angle de contingence dis^isé par la différentielle de Varc.
