ANGLES DE LA TANGENTE AVEC LES AXES
271 . Supposons maintenant que les axes soient rectangulaires, et nommons a, S et y les angles formés par la tangente avec les trois axes coordonnés Ox, Oj et O^.
Dans le trapèze MPP'M', dont les côtés parallèles sont MP = 5 et M'P' = z + Ar, menons MH parallèle à PP'. Soit / Tangle MM' H, c'est-à-dire Tangle que la sécante MM' fait avec l'axe Os. Le triangle rectangle MM'H
donne
Az Az
MM'
^A^c'-h A7»-|- Ai'
VIKGT-TBOISifeME LEÇOTI. 2^5
Si / est la variable indépendante, on peut ëcnre
v/(^)'-fê)'-(B)"
Or, quand M' vient se confondre avec le point M, la sécante devient tangente, y' devient 7, et Ton a
dz di
jdx^ dy^ dz^ y ~dF^dF ^d?
ou bien
dz
CCS 7 =
\Jdx^ -+- dy^ -h dz^
Si dz est ]> o, c'est-à-dire si z croît avec la variable indépendante /, on a cosy }> o et y <^ -^ si, au contraire,
dz est <^ o, on a cosy < o et 7 > - •
On trouve de môme cosa et cosj3, de sorte que les trois angles cherchés sont donnés par les formules
dx cosa =:
(c) ( ces 6 =
^€ix^ -+- dy^ -h dz^
dy
^da^ -h dy^ -+- dz' dz
COS7 n::: — ^
sj dx' -^ dy^ -^ ilz*
Si Tare infiniment petit MM' est désigné par ds^ on aura, comme nous le verrons bientôt (n° 275),
€U = ^dx^-h dy^~h dz\
276 COL'RS D*ANALTSE.
et les formules précédentes deviendront
/ fv dx ^ dy
\d) cosa=-— > cos6=:-— » COS7
ds as
dz
ds
PLAN KORHAL.
272. Le plan normal à la courbe CM est le plan perpendiculaire à la tangente MT, mené par le point M. En nommant X, Y, Z les coordonnées courantes, Téqualion de ce plan sera de la forme
A(X — x) -f- B (T - j) 4- C(Z — «) = o. Les équations de la tangente MT étant
pour que le plan soit perpendiculaire â cette droite, il faut que Ton ait
^ dy C ^dz
A dx A dx
ce qui donne pour Téquation du plan normal
(e) (X — x)da:-^{Y—x)df-h{Z—z)dz=:o.
273. Voici un autre moyen d'obtenir cette équation. Soit N un point quelconque de ce plan; appelons X,
Y, Z ses coordonnées, et a', (3', /, les angles que fait MN
avec les axes Oj:, Oj^, Oz, On a
Fi(j. 5o.
, X-jr
MN
Si a, fi, y sont les angles que fait la tangente MT avec
VINGT-TROISIÈME LEÇOIV.
les axes, on a [formules (d)^
COSa=:— » COSp = -T-» COS7=-7-
ds
as
ds
Or,
cosTMN = cosa cosa' -h ces ^ cos^' -h ces 7 ces 7'.
D'un autre côté, on doit avoir cosTMN = o, puisque Pangle TMN est droit; l'ëquatioii du plan normal est donc
X — X dx Y — X ^y Z — *^*
MN di "*" MN di^ MN S"~°'
qui revient à l'équation (e).
DIFFÉREffTIELLE DE L*ABC o'uNE COURBE A DOUBLE
