Prenons, d'une manière arbitraire et en nombre

quelconque, des points E, F, . . . , M, M', . . . , sur Tare de

^'P* ^*' courbe CM D, et considérons

le polygone gauche CEF... MIVr...D, inscrit dans Tare CMD. Je dis que le périmètre de ce polygone tend vers une limite déterminée quand ses sommets se rapprochent tous indéGniment les uns des autres, en même temps que leur nombre aug* mente jusqu'à TinGni; après Tavoir démontré, nous conviendrons de prendre cette limite pour la longueur de Tare CD-

Soient donc jr,j^, z les coordonnées de Tun quelconque des sommets M, et jc -f- 2^x, jr -h Aj, z -^ ^z celles du sommet suivant M'; on a

MM'=VA*'-hAj^«+Az=^Axy/.+(^^y-+-(^y.

2ng COURS D ANALYSE.

Donc, si nous désignons par P le périmètre du polygoue, on a

Si Ax décroît jusqu a o, -^ et — tendent vers —

et -;-> et l'on peut écrire ilx *

\/-(ij)'-(My=\Ml)Mi)'--

a étant une fonction qui s'annule avec Ax. De là résulte

Mais, d'après un principe démontré (n^ 16), on a

lim\' (aAj:) = o, donc

Supposons maintenant que x soit la variable indépen-

daote; alors g, ^ et y/.H- ^^)'+ (^)'' pouvaul

être regardés comme des fonctions de x, considérons^ dans un système de cooi'données rectangulaires, la courbe ef^ qui a pour équation

Soient O^ = a, OA = i ^ on aura, en supposant que x

VI24GT-TROISlkME LEÇON. 279

varie depuis a jusqu^à i,

Fig. 5a. Or 2 (Y Ax) a pourlimîle Taire

f[fgh : donc la limite de P et Taire efgh sont exprimées par le même nombre. C*e8tce nombre qui représente la longueur de Tare CD.

275. Soit maintenant arc CM = 5. Si Oqf = x, on aura numériquement

arc CM = aire emqg\ par conséquent

ou