ÉQUATIONS DE LA NORMALE

278. La normale à la surface au point M est la perpendiculaire menée par ce point au plan tangent. Cette droite, passant par le point M (^,JK, 5)> aura deux équations de la forme

Pour que cette droite soit perpendiculaire au plan tangent, représenté par l'équation (3), il faut qu'on ait, en supposant les axes coordonnés rectangulaires,

abc

£ df df dx dy dz

Si l'on remplace a, 6, c par les dérivées auxquelles elles sont proportionnelles, les équations de la normale prendront la forme

df df ijl

dx dy dz

279. On peut donner à l'équation du plan tangent et à celles de la normale une autre forme. En regardant z comme une fonction de x et de y, appelons p et q les dérivées partielles de s par rapport à ûc et à ^, c'està-dire posons

dz ^ dz __

En diiTéren liant Téquation

successivement par rapport à J?, puis par rapport à /, on aura

df , df . df , df .

^d.^^^dz^o, ^^dy^-£dz=o^

d'où l'on tire

dx ' dz^ ^ dy'dz

Alors l'équation du plan tangent (3) pourra se mettre sous la forn>e

/>(X-rr)-h5'(Y-^)-(Z--5) = o,

et les équations (5), qui représentent la normale, donneront par la substitution

280. Si l'on nomme a, p, y les angles que la normale fait avec les axes, on aura

cosa = ' — , cosp = ^ — j cosY =

yjp^^q'^-^y //>»-f-5'*-i-i y/p^-^q^-^

DEGRÉ DE l'équation DU PLAN TANGENT, PAR RAPPORT AUX COORDONNÉES DU POINT DE CONTACT.