L'équation du plan tangent peut se mettre sous la forme

dx' dy dz dx ^ dy ^ dz

Si Téquation de la surface est algébrique et du degré/??,

les dérivées -,- > -r > -r^ sont des fonctions alsrébriques du dx dy dz o t

degré m — i . Le premier membre sera donc une fonc-

lion du degré m — i des coordonnées du point de contact. Quant au second membre, il semble être du degré m par rapport à ces coordonnées ; mais on peut le réduire au degré m — i, en tenant compte de l'équation de la surface.

En eflety soit

u représentant la somme des termes du degré m, t/i celle des termes du degré m — 1,^2 celle des termes du degré m — 2, et ainsi de suite : on a

dui

dut ~d^

du^ 'dz

Si l'on multiplie ces équations respectivement par x^y et Zj et qu'on ajoute les résultats, on aura

du dui

~ dx dx

dy-

du ^ du\ ' dy dy

dz~

du ^ du\ ' dz dz

df df df l du du

df l du du du \

dx ^ dy dz \ dx "^ dy dz j

(du\ dui ^ duy \

dx dy ** dz )

(du^ du% dui\

^■d^^y-^^'iû)^-'

ou, d'après une propriété des fonctions homogènes (n« 178),

df df df dx '^ dy dz

= mu -+- (m — i) Ml H- (m — 2) ttj H- . . .

= m(a M- Wi -r Wj 4- ...) — Wi — 2Wj — 8^3 — ....

Mais le point (a:, y^ z) étant sur la surface, on a

M H- Mj -f- Mj -H ... =0;

donc l'équation précédente devient

df df df

Il en résulte que Téquation du plan tangent se réduit à df ^ df ., df „

-i^XH--^Y + -f-Z-t-Mi-!-2Mi-f-3Ms-+-... =0,

dx dy dz

équation qui est du (m — i)*^'»*? degré par rapport aux coordonnées du point de contact.