Soit une équation de la forme

qui renferme un paramètre arbitraire c : si l'on donne à c une infinité de valeurs, l'équation pourra représenter une infinité de surfaces. Dans ce faisceau, considérons les surfaces S et S' qui correspondent aui valeurs c et c -f- Ac du paramètre : leur intersection sera représentée par l'équation (i) et par l'équation

<iF I d'^Y

F(^,7, ^5, c-hAc) = F-h-^Ac-+---^-^Ac»-H . . = o,

qui, en ajant égard à l'équation (i), donne

dY irf^F,

de 2 rfc*

Si Ac tend vers zéro, l'intersection de la surface S avec la surface S' tendra vers une ligne G, représentée par l'équation (i) et par

Supposons maintenant que nous donnions à c diverses valeurs; les courbes correspondantes G engendreront une certaine surface qui est Vençeloppe des

VIKGT-QUATRIÈME LEÇON. 285

surfaces du faisceau (i); celles-ci sont les enveloppées, et les courbes G sont les caractéristiques de l'enveloppe. Chacune de ces courbes coupe la courbe infiniment voisine en un point dont le lieu peut être regardé comme la courbe enveloppe des caractéristiques et est appglé arête de rebroussement de la surface enveloppe. ^On peut aussi considérer des surfaces dont l'équation

renferme deux paramètres arbitraires : on reconnaît que l'une de ces surfaces coupe toutes les surfaces infiniment voisines en un ou plusieurs points dont les coordonnées sont données par l'équation (3) et les suivantes

le lieu de cespoints constitue l'enveloppe des surfaces (3).

283. Cherchons le plan tangent en un point M de l'enveloppe que nous avons déterminée en premier lieu. Le premier membre /(x,/, 5) de Téquation de cette enveloppe peut être obtenu en remplaçant dans F(j:,^, 5, c)c par sa valeur tirée de l'équation (2)5 or nous pouvons prendre les dérivées partielles de / sans efTecluer la substitution : le premier membre de l'équation (3) du n® 277 devient

,,^ rd¥ d?dc'\.^

mais l'expression de c en fonction de x^y^ z annule

identiquement -1-; il en résulte que l'équation (4) se

réduit à celle du plan tangent à l'enveloppée (i)au point M. Donc la surface enveloppe louche chacune de ses enveloppées tout le long de la caractéristique correspondanten]es enveloppes du second genre louchent chacune de leurs enveloppées en un nombre limité de points, j

COURS D AKALYSE.

PLAIT OSCULATEUB.

284. Soit CML une courbe quelconque dans l'espace. Soient M et M' deux points très rapprochés sur cette courbe. La tangente MT à la courbe au point M et le point M' déterminent un plan. On appelle p/a/i osculaleur la limite du plan MTJVl', quand le point M' vient se confondre avec le point M.

On peut encore dire que le plan osculatcur au point M

est le plan qui passe par le point M et par les deux points m et M' voisins du point M sur la courbe, quand ces deux derniers points viennent se confondre avec M. Cette déBnition s'accorde avec la première, puisque la ligne Mm tend à devenir tangente au point M lorsque les trois points se rapprochent.

285. Le plan osculateur de la courbe au point M, dont les coordonnées sont x^y^ z^ devant passer parce point, aura une équation de la forme

D'ailleurs les équations de la tangente sont

Comme cette droite doit être tout entière dans le plan osculateur, on doit avoir, quel que soit X ou (X — x),

A(X-x)-f-Bg(X-x) + C^(X-x) = o

ou bien

(3) kflx-^-^dy -^Cdz:=LO.

Soient maintenant x -t- î^x^ j -f- Aj, r -J- A3 les

VINGT-QUATRîkMR LFÇON. 287

coordonnées du point M' : en substituant ces coordonnées dans Fëqualion (i) à la place de X, Y, Z, on aura

(4) AAx-f-Bù/ H- CA« = o.

Or on peut considérer or, y^ z comme des fonctions d'une certaine variable indépendante f, et si a, 6, y désîfrnent des quantités qui s'évanouissent avec A/, on aura

dx Lt^ Id^x

Ax -: A/ -- H -—- -h a h

dt I .2 \ dt'

Ar — A/-V ^- •^ dt

Par suite Féquation (4) devient

fdx m fd'x \1

ou bien, à cause de Téquation (3), et en divisant les deux membres par - Af*,

A la limite, a, S, y s'évanouissent, et alors, en muliipliant les deux membres par dt^^ on a

(5) A d'x 4- Brt»j + C<f>2 =r o,

équation qui, jointe à Téquation (3), servira a déterminer les rapports pi •«• Eliminant B entre ces deux équations,

il vient

A {dxd^y- — dyd^x) + C [dzd^y — dyd^z) = o,

d'où l'on lire

A dyd^z — dzd'^y

C dxd^jr — dyd^x

On aura de même

B dzd'*x — dxd^z C dxd^jr — dyd^x

L^un des coefficients A, B, C étant arbitraire, je prendrai