NORMALE PRINCIPALE

288. On appelle normale principale celle qui est située dans le plan osculateur.

Cette droite doit être perpendiculaire à la tangente MT et à la normale MP. Or de ridcnlité

on déduit

, , dx ,dx df ,dy dz .dz

ds ds ds ds ds ds

D'autre part, Téquation

Ad^x-hBd^X -¥-Cd^z = o peut s'écrire ainsi :

(a) Arf$+Brf^r + Crf$=o.

^ ' ds ds ds

Les équations (i) et (a) montrent que la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à

dx djr dz

""T' ":j~' ""r> ds ds ds

est perpendiculaire à la tangente MT et à la normale MP; c'est donc la droite cherchée.

Il résulte de là que les équations de la normale principale sont

ds ds ds

EXERCICES

i. Une courbe tracée sur la surface d'un cône droit a pour pro* Jection orthogonale, sur un plan perpendiculaire à Vaxe du cône,

une spirale logarithmique, r = e"*^, €lont ce sommet est le pôle. On demande les équations de la tangente à cette courbe et l ''équation de son plan normal en un point donné. Prouver que cette courbe coupe toutes les arêtes du cône sous un angle constant.

Solution. — L'angle du cône étant a, la tangente à la courbe fait avec les axes des angles dont les cosinus sont

wcosO — sinô m sinô-hcosO mcota

V'"^iiï^ V"^"Sï^ V"^8"i5^ La tangente fait avec Tarête du cône un angle dont la cotangente est

-T-—- L'équation du plan normal est

(X — x) {mx—y) -i-lY— j) (/w/4-x) h- (Z — z)mz — o.

2. Une courbe est donnée par deux relations entre la distance r (Tun quelconque de ses points M à un point fixe 0, V angle 0 que le rayon vecteur OVLfait avec une droite fixe Ox, et V angle ç que le plan MOxfait avec un plan fixe xOy : trouver la différentielle iie son arc en fonction des quantités r, B et t^ et de leurs différen-' tielles.

SoLunoN. ^

ds = y/dr-'-t- r^db^-^r r'&ui'^drf'.