Trouver V équation du Heu des normales à la surface

menées par tous les points de la droite

«'= k^ ay=x v^6' — A% qai est tout entière sur la surface.

Solution. — Le paraboloïde hyperbolique

ckl^xA-Xy/V^^') [x y/V^n? " qr)

COURBURE DES UGNES DANS L'ESPACE. - HËUCB.

Coorbure des lignes dans Tespaoe. —Cercle oiculatear. — Rayon de torsion ou de seconde courbure. — Équations de lliélice. ^ Tangente. — Rayon et centre de courbure. ^ Lieu des centres de courbure. — Plan osculateur et angle de torsion.

COURBURE DBS LIGNES DANS l'eSPACE.

S89. On nomme angle de contingence, dans une

courbe gauche, comme dans une courbe plane, Tangle u que font entre elles les deux tangentes menées aux extrémités d'un arc MM'= Ai, qui devientinfinimcntpetit; et courbure au point M, la

limite vers laquelle tend le rapport —9 quand As diminue indéfiniment. Cette limite est représentée par ■^-

ds L'inverse de la courbure, ou — t est dît le rayon de courbure au point M. Nous le désignerons par p.

390. Pour évaluer ck), menons par le point O les droites ON et ON^ égales à l'unité de longueur et respectivement parallèles aux tangentes MT et M'T'. Soient

dx , dr à*

£is ds lis

les cosinus des angles que MT ou ON fait avec les axes, ou, ce qui revient au même, les coordonnées du point K )

VINGT-ClNQUltMB LEÇON. 298

soient rt', b', c' les coordonnées du point N'. L'angle NON' sera égal à a)^ et Ton aura

NN'=: a ON sin i w = v^fa'— a)»-i- (*'— 6)» -4- (</ — c)»,

ou, puisque ON = i ,

2 sin - «» = dàa^-h A^'-H Ac*.

En passant à la limite et remplaçant le sinus de l'angle - (ù par cet angle lui-même, on aura

d'où

6) I /dà^

ds~'^~y d? "^"^ "^

» db^ dc^ p ~ y ds^ '^ ~ds^ "^5?'

on aura donc, en remplaçant a, 6, c par leurs valeurs,

// .^x\» / .^\* / .dz\i

f=vuau;hï'-

quelle que soit la variable indépendante.