La normale principale MN fait avec les axes des
294 COURS D^ÂHALTSE.
angles i^ /n, n dont les cosinus sont proportionnels a
ds ds ds
ds ds ds
on en conclut
rf^ rf^ /i
, ds ds ds
ces / = p — r— ? cos m = p — 7- » COS« =: p —7— •
Or les équations de la normale MN sont
X — x=iBcos/, Y — ^=rRcQSiîî, Z — 2 = Rcos/i,
R étant la distance du point M à un point quelconque (X, Y, Z) de cette normale. On pourra donc, en remplaçant cos/, cos/Ti, cos n par les valeurs que nous venons de trouver, mettre ces équations sous la forme suivante :
d^ /^ rfl*
(a) X— j: = Rp~-^, Y—j^:-^Rp-4^» Z— z — Rp— ^.
^ ds ^ ds ^ ds
CERCLE OSC1JLÂTEUR.
283. Si, par le milieu de la corde MM', on mène un Fig. 56. p]^n perpendiculaire à cette
corde et qui coupe la normale principale MN au point G, ce point sera le centre d'un cercle passant par les deux points M et M'. Si le point M' se rapproche V du point M, le plan KMM' ten-
dra à se confondre avec le plan osculateur TMN^ et le cercle deviendra à la limite ce qu'on nomme le cercle osculateur k la courbe au point M.
Le rayon du cercle osculateur au point M est égal au rayon de courbure en ce point •
YINGT-CINQUIBME I.EÇON. 2g5
En effet, Téquation du plan perpendiculaire mené k la corde MM^ par son milieu est
Ax
-f- Aj (z — «— i Aa j =o,
ou
(X— xjA*-f-(Y— j)A7-f-(Z— 2)A2"-(Aar'-+-A^'-+-Az').
Si Ton élimine X — x, Y — y, Z — -» en ire celte équation et celles de la normale (a), on aura
^ \ as ds fis \ i , ^
Rp \ — -Ajr-t--3- A/H-— ^A* / =-(A«»-f- Ar»-HA»')j \ df ds ds / 1
mais si Ton regarde x^y tl z comme des fonctions de s^ on a
dx Ls^ \ ds
Ax=z Ai -- — t \ ha / »
ds ^ 1 \ as
dr as* I ds ds a \ ds
dz A
jM ds
^tz=:tiS 1 \ — h7
ds n \ ds '
a, 6, y étant des quantités qui s'évanouissent avec Af •
Substituant ces valeurs dans Téquation précédente, et supprimant les termes qui contiennent As en facteur^ termes dont la somme est nulle, on aura
Mnmt)-iA
Ajr'-i-Ar'H-Az»
Af*
296 COURS D^llfALTSB.
et en passant a la limite,
fX -^, XlimRr=i P ou
limR = p.
Ainsi le rayon du cercle osculateur au point M est égal au rayon de courbure en ce point. C'est pourquoi le point K, limite du point G, sera dit indifféremment le centre de courbure ou le centre du cercle osculateur,
294. On prouve d^une manière semblable que Tintersection de la normale principale MN avec le plan normal à la courbe passant par le point M'est encore, à la limite, le point K ou le centre de courbure.
Eji effet, Téquation de ce plan normal est
i dz dz\ ,„ ,
En remplaçant X — x, Y — y^ Z — z par leurs valeurs tirées des équations (a) de la normale principale,
(a)X— x=Rp— ^, Y— ^^Rû--Î, Z — z=rR»-^»
^ as ^ fis ^ ils
on aura
(is fdx dx\ ds fdy dyX ds t dz dz\ I
dr dr dz dx dr dz
=1- Ax-- -hAr-; — f-Az-- -t-A-c A-— 4- A rA - - 4- AzA-r-ds ds ds ds ds dt
Cette équation se simplifie beaucoup au moyen des
remarques suivantes. D'abord on a
dx dx ^T j^y dz dz
lis ds ds ds ds ds
et il reste, en divisant par A5,
dx dx fly dr riz dz
d — A — d— A— d — A- ^ , ds ds (h ds ds ds
Rp \ 1 1
^ ds Af ds as ds Af
àx dx àrdr àz dz Ax dx ^r dy Az riz
Aj ds Aj ds Isds As ds As ds As ds
Si Ton observe que
la limite du premier membre sera - limR. D'ailleurs la limite du second membre est
On aura donc
- lim R r:^ I ou lim K = p,
ce qu^il fallait prouver.
295. D'après cela, on peut regarder le centre de courbure au point M comme étant Tinterseclion du plan osculatcur en M avec deux plans normaux, Tun mené par le point M et l'autre par un point infiniment voisin.
Pour obtenir les coordonnées Ç, rj et ^ du centre de courbure K, il faudra, dans les équations de la normale
ds ^ ^ ds „ ^ dz
298 COURS d'amâltse.
remplacer X, Y, Z par Ç, >?, Ç. En observant que R devient alors égal à p, on aura
ds as , as
équations qui donneront ^9 >7 et ^ en fonction des coordonnées du point M.
