TANGENTE A L^HÉLICE
300. Les cosinus des angles que la tangente MT au point M(x,j^, z) forme avec les axes sont —-5 —9 — • Mais
dx ^:^ — VL^iïiudUy <fy = R cosiidft , rfz = mKdu ,
ds zz^K^i-i- ni^du\ on a donc
dx — sinM dy cos« dz nt
ds ./■ i m» ds â/t >^ /«a ds
La formule — = -3= = sîna montre que la tan- «* V^i -t- m'
gente MT /ait ai^ec les génératrices un angle constant
égal au complément de a, et, par suite, que V angle
qu^elle fait awec le plan de la base du cylindre est aussi
constant et égal à l* angle a.
On a
djr cos u T
dx sÏD u tang M
dY .-
or -- est le coefficient angulaire de la droite PT, et
€lx
tang<i est celui de la ligne OP. Donc ces deux droites sont perpendiculaires entre elles 5 donc la projection de la tangente à riiélice sur le plan xy est tangente au point P a la base du cylindre.
VIRGT-ClNQUlfeME LEÇON. 3oi
ElYON ET CENTRE DE COURBURE.
301 . Le rayon de courbure au point M est donné par la formule
Or, des expressions trouvées au numéro précédent on déduit
ds co5« ds sin« ds
ds R(i-i-/ii'j ds R(i-î-''''; d$
Par conséquent
/cos' u
Vrmt
sin-£«
Ainsi le rayon de courbure a la même valeur pour tous les points de V hélice,
302. La normale principale à Thélice au point M forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels
à d -— 5 d-j-t d —-y ou bien a cosw, sinueto. Donc cette ds ds ds
droite est parallèle à OP, et, par suite, le rayon de courbure est dirigé suivant le rayon du cylindre. La droite MN, perpendiculaire à Taxe, et la tangente MT détermineront le plan osculateur, et si Ton prend NK = m*R, K sera le centre de courbure de rhélice pour le point M. Comme d^ ailleurs le rayon de courbure a une valeur oonstante, toujours plus grande que le rayon du cylindre, il en résulte que le lieu des centres de courbure de rhélice est une autre hélice du même paSj mais située en sens im^erse.
3o2 COURS d'analyse.
303. La droite MN, lorsque le point M se meut sur riiélice, décrit une surface conoïde appelée hélicoïde gauche. Le plan KMT est tangent à cette surface au point M, puisqu'il passe par la génératrice rectiligne MN et par la tangente MT à Thélice placée sur cette surface. Pour avoir Téquation de cette surface, il suffit d'éliminer a entre les équations
qui représentent la droite MN. On obtient ainsi
X — X lang
mR
PLAN OSCULATEUR. — ANGLE ET RAYOW DE TORSIOSI.
dxzrz — R sin £f ^a , dy~-K cosn du , dz^=^mKdu^
d^x -— — R cosudu^y d^y ==: — R sÎD u du*y d^z = o .
On aura par suite
dxd^X ^ d/d^x-z R'rftt»,
dzd^x — dxd'z = — //iR* cosudu^,
dyd^ z — dzd^x = mR* sinudu*.
Alors Téquatîon du plan osculateursera, en divisant par le facteur commun R'^a',
m sinM(X — x) — mcosu (Y — /) -f- Z — z rr- o.
