POINTS MULTIPLES

309. On appelle point multiple un point qui est traversé pai plusieurs branches d'une même courbe. Le caractère auquel on reconnaît un pareil point est que la courbe y admet plusieurs tangentes. Nous omettrons le cas où ces tangentes se réunissent en une seule.

Voici un exemple assez général, où y est une fonction explicite de x. Soit

X= ^(x)±{x — a) [x — bf , - étant une fraction irréductible, dont le dénominateur

q est pair : le terme [x — a) [x — l^ a deux valeurs réelles et de signes contraires, pour chacune des valeurs convenables de jr, ce que nous indiquons en faisant précéder ce terme du signe dz.

On tire de cette équation

•£ = ^'{x)±{x^bY±t(^x-^a:[x-b)^ .

Pour j: = a, on a

Si Ton suppose a plus grand que &, il y aura deux tangentes distinctes : d'ailleurs, à des valeurs de x peu différentes de a, correspondent deux valeurs réelles et distinctes de^, qui se réduisent à une seule quand x = ^ : donc le point qui a pour coordonnées x = a, y =: 9 (a) est un point double.

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dr

Mais si a est moindre que b, -~ sera imaginaire , et il

D y aura pas de tangente en ce point. En effet, pour des valeurs de x très-peu difTérentes de a^ x — b étant négatif, les ordonnées correspondantes seront imaginaires; par suite, il n'existera pas de point de la courbe dans le voisinage du point considéré. Nous reviendrons plus tard sur ce genre de points singuliers (n^ 315).