Quand Téquation de la courbe
n'est pas résolue par rapport à y^ on en tire par la différentiation
/ ^ df df dy
En un point multiple de la courbe, -j- doit avoir plu-
sieurs valeurs réelles et distinctes : mais Téquation (a)
dy étant du premier degré par rapport à ---t cela ne peut
eus
arriver qu'autant qu'on aurait à la fois
<3^ ^=°' ïf = °5
donc, pour avoir les points multiples, il faudra commencer par chercher les points dont les coordonnées vérifient les équations (i) et (3).
Comme Féquation ( a ) se réduit alors à o = o, elle ne
dr peut servir à déterminer la valeur de —> Il faudra recourir k réquation dérivée
^'/^o ^'-^ dr ^d-f (dry df d^y
djc* dxdy dx djf^ \^ I 4y ^*
3o8 COURS D^NALTSB»
OU, puisque — = o,
^^^ dx^ dxdy dx dy^ \fix)
supposons que les trois coetficients -r—» -7 — — el -p;
ne soient pas tous nuls, et que Téquation (4) donne deux
valeurs réelles et distinctes àe ■--: il en résulte qu'il y a
deux tangentes au point considéré, et par suite que deux branches de la courbe s^y traversent mutuellcmenl: c^est donc un point double.
Mais si trois branches de la courbe se rencontraient en ce point, il devrait y avoir trois tangentes, et comme
Téquation (4)* qui n'est que du second degré par rapport
dy à — j ne peut donner trois valeurs de cette quantité, on
devrait avoir en même temps
dx' °' dxdj^^' dx'~~^
dr y .
Les valeurs de -— s'obtiendraient ensuite en différcntiant
dx
Téquation (4). On voit comment il faudrait opérer, si un plus grand nombre de branches se rencontraient au point (x^jr).
311. Comme exemple, soit la courbe représentée par l'équation
j^:=x^(i — j:*), ou bien y = dzx^i — x*.
Cette courbe est symétrique par rapport à Taxe des x et à l'axe des j^. Elle coupe l'axe des x à l'origine et aux deux points qui ont pour abscisses x = i ei x = — i.
En différcntiant l'équation de la courbe, ou trouve
dy , , X» I 2 x'
y- =z± Vi — X» qz -^3^= ^± - .
dJ: y I — jjs y' I — jj
VIMGT-SIXIÈME LE^Olf. 3o()
Pour x = o, les deux valeurs dey se réduisent à une '''G- 60. seule, qui est o. D*ailleurs, pour
ce point, on a
Ainsi, l'origine est un point double. En ce point, les tangentes
TT' et SS' divisent en deux parties égales les angles des
axes.
On trouve, pour la dérivée seconde,
pour a: = o, on a -~- = o : ainsi, l'origine est à la fois un point double et un point d'inflexion.
POINTS DE redhoussement.
312. On appelle point de rebroussement un point où deux branches de courbe viennent s'arrêter, et où elles ontuDetangcnteconitnune.il faut, dans ce cas, que deux valeurs de^, réelles quand x est supérieur ou inférieur à Tabscisse du point, soient imaginaires quand x est inférieur ou supérieur à celte abscisse, et, en outre, que
deux valeurs de -~- deviennent égales.
de ^
Le rebroussement est dit de première ou de seconde espèce, suivant que les deux branches sont de deux côtés différents ijig» 65) ou du même côté de la tangente qui leur est commune (^g. 64). D'après ce que nous avons vu sur la convexité des courbes planes (n° 203), Tespèce
du rebroussement se reconnaîtra par le signe de --j-j- sur les deux branches, près du point en question.
3lO COURS D^ ANALYSE.
