Soit la courbe

cf (x) et <j/ (x) étant deux fonctions réelles et finies, pour

des valeurs de .r voisines de a; supposons la fraction -

positive, irréductible et ayant un dénominateur pair. Alors, pour chaque valeur de x supérieure à <i, le ternie

p (x — rt)^^(x) a deux valeurs réelles égales et de signes contraires, ce que nous indiquons par le double signe ±,

Les deux valeurs de j*, réelles et inégales pour x plus grand que a, deviennent égales pour x = a, et imaginaires pour X plus petit que a. Donc les deux branches de la courbe viennent se réunir et s^arrèter au point qui a pour coordonnées x = «, y = o (a).

Reste à voir maintenant si en ce point les deux branches ont la même tangente. Or Téquation de la courbe donne

Si ^ est plus grand que i, & la valeur x = a corres*

pondra pour -^ la valeur unique ^''(û)' Donc les deux

branches ayant même tangente au point considéré, ce dernier est un point de rebroussement.

Pour savoir si le point de rebroussement est de pre-

mière ou de seconde espèce i on calcule ^^-j ce qui donne

±2° (* — «)» f(*)rt(*—a)« +"(*).

vihgt-sixièhe leçon.

Nous ferons ici deux hypothèses : i® si Ton a

3ii

on aura, pour x = a,

dF

Ainsi, en admettant que ^" (o)

ne soit pas nulle, --y a le même

signe sur les deux branches, et, par conséquent, la courbe offre an rebroussement de seconde espèce (fig* 1H) a® Si, au contraire, on a •'

pour une valeur de x très-peu supérieure à a, le terme

sera très-grand en valeur absolue, et il n^en serait pas de même des autres termes de -j^ qui tous, excepté le premier, 9"(x), convergent vers zéro, lorsque x tend vers a.

d^r Ainsi, le terme (i) donne son signe à •j-fi et comme ce

^' terme a le double signe, il s^ensuit

' qu'au point [x = a, j* = cf(a)],

les deux branches sont situées de part et d'autre de la tangente commune. Dans ce cas, le rebroussement est de première espèce (y%-^^).^*^