POINTS ISOLÉS

315. On appelle point isolé ou conjugué un point dont les coordonnées satisfont à l'équation d'une courbe, sans qu'aucune branche de cette courbe passe par ce point.

Soit réqualiou

■=±{x — a)slx--b.

Si X croit de 6 à

Fig. 64.

et supposons d'abord a plus petit que 6. Pour x -~ 6, on a j' = o, ce qui donne un point B situé sur Taxe des abscisses.

00 , y croît de o à zh cx) , et Ton a une branche telle que MBL.

Si Ton fait x plus petit que 6, l'ordonnée est imaginaire, excepté pour x = a, car, pour celle valeur de j:, on a j^ = o.

Ainsi, lèpoint A(T=a,j'=o) est un point isolé.

Si a est plus grand que £, la courbe n'a plus de point isolé, parce que les deux valeurs de j^ sont réelles quand x est comprise entre h et a. Pour X = a^ les valeurs de y se réduisent toules deux à o. De a: = aàx = oo,jr croît jusqu'à l'infîni.

Dans ce cas, le point A est traversé par les deux branches BCK, BDL : c'est donc un point double.

Fig. 65.

POINTS D ABRET.

316. On appelle /^oi/2frf'/7rre^ un point OÙ une branche unique d'une courbe vient brusquement s'arrêter. Prenons la courbe représentée par Téquation

Donnons d'abord à x des valeurs positives : pour

3i4 COURS d'analyse.

:r = o, on a. y = QO] si ron fait croître x jusqu'à 4-x, j' décroît depuis -f-oo jusqu'à -4- i, ce qui donne une branche asymptotique à l'axe des y, et à la droite dont

l'équation est ^ = i .

Considérons maintenant des valeurs négatives de x : si on change x en — x, la valeur de v

Fig. 66.

sera i : e^*^, et pour j? = o on aura X j'=o; la courbe passera donc par Torigine. L'ordonnée augmentera ensuite avec la valeur absolue de x jusqu'à la valeur ^ = i . Il y aura ainsi une seconde branche de courbe, asymptotique à la droite qui a pour équation y=-\-i, et s'arrêtant brusquement à l'origine en venant des x négatifs. L'origine sera donc un point d'arrêt.

Il y a un point d'inflexion pour j? = — - .