DÉFINITIONS ET NOTATIONS

320. Etant donnée une fonction d'une seule variable, on peut toujours la considérer comme la dérivée d'une autre fonction inconnue, et chercher cette autre fonction, qui aura pour différentielle la fonction donnée, multipliée par la différentielle de la variable indépendante.

Soity(jc) la fonction donnée 5 je dis qu'il existe toujours une autre fonction qui a pour différentielley(.r) dx. En effet, construisons la courbe CMD qui, rapportée à des axes rectangulaires, a pour équation

L'aire de cette courbe, comprise entre une ordonnée fixe

quelconque CA et Tordonnée MP qui correspond à Tabscisse variable x, est une fonction déterminée de X. Or, la différentielle de cette aire est jdx ou J {x) dx ; donc cette aire est une

fonction qui af(x)dx pour différentielle^ ouy(x) pour

dérivée.

3l8 COUKS d'àaaltsr.

321. On appelle intégrale def{x)dx et Ton représente par jf[x)dx une fonction dont la différentielle

esif[x) dx. ^opération par laquelle on passe de la différentielle d'une fonction à cette fonction se nomme inté" g rat ion.

L'intégration et la différentiation sont deux opérations inverses Tune de Tautre, de telle sorte que le signe d et

le signe 1 se détruisent mutuellement.

Ainsi Ton a, par la définition même,

d l f[x)dx ^=f{x)dx^ j df{x) = f (x).

322. L'intégrale d'une différentielle donnée/ (x)djc peut avoir une infinité de valeurs, car si <f{x) est une fonction donty*(j:)^a: soit la différentielle, en ajoutant à celte fonction une constante arbitraire, l'expression (f(x) •+- C aura la même différentielle. Mais il n^y en a pas d'autre, puisque deux fonctions ayant la même différentielle ne peuvent différer que par une constante.

Ainsi rintégrale générale de f(x) dx est

C étant une constante arbitraire. La figure rend bien compte de cette constante arbitraire; car si, au lieu de prendre CA pour ordonnée fixe, on prenait C'A', on ob* tiendrait l'aire C'A'MP, qui surpasse CAMP de Taire constante C'A'AC.

IMTÉGRATION d'uNE DIFFÉRENTIELLE MULTIPLIÉE PAR UM

FÀCTEUa CONSTANT.

323. On sait qu'un facteur constant a peut être placé en dehors du signe de différentiation pi y a une règle analogue pour F intégration.

En effet, on a

dau —z adu ; or

donc

i dau -- air, a j du=zau\ I dau -=:a j du ou I adu =a I </» ,

OU bien, en posant du =^f[x)dx^

j af[x)dx^=za i /(x)dx.

nrrÉGAATion immédiate de quelques fohctions