SIMPLES

324. La diffërentîation des fonctions simples ar", a', etc., conduit immédiatement à un certain nombie d'intégrales, que nous réunissons dans le tableau suivant :

a^dx— hC,

/ c*dx ==

d€'=:è'dx^ j c*dx=:e'-hCy

€U^^a*\adx, I a*dx=i h C,

d\x= —J / — = lx-4-C,

dcosx =^ — sino; d^, I sxnxdx r^ — cosj:-!- C,

dx r dx

i/Ungx=: - --> 1 — — = Unga:-+-C,

^^ cos'j: j cos^x

— dx C dx

sin'jr

/dx sin*x

Si Tare est moindre que -y

dx r (Ix ^

</arcsinx=— = , l ^z^ = arcsinx -h C^

dx C ^^^ ^

a Arc cosx = — — = » I — __ r-^ = — arc cosx -+■ C

yi — X» »/ V^< — •^*

/dx — =--r=ri deux valeurs v/ï — *'

qui semblent différenies -, mais, comme

arc ces* -h arc smx = - »

on voit que les deux intégrales ne diffèrent que par une constante,

dx r dx

d arc iSLTiQx = ^ I — ; — ^ i= arc tangx -+- C.

325. Dans toutes ces formules, xpeut être la variable indépendante ou une fonction quelconque de la variable indépendante. Par exemple, si, dans la formule

x^dx=i hC,

on remplace x par (f (x), on aura encore

[ç(x)]-rf?{x)=.LîI:^+c.

326. La formule (i) devient illusoire quand on y fait n = — I : elle donne alors

dx I ^ — =- + €.

Cela tient à ce que / — est égale à la transcendante Ix*, qui ne peut pas être représentée par une expression algé*

YtHGT-SEPTlÈMB LEÇON. 321

brique. Cependant un artifice de calcul permet de déduire delà formule (i) la valeur de 1 — -

En effet, si, dans cette formule, on retranche du second membre la quantité constante ? ce qui ne

change pas sa différentielle, on aura

x^dxz=z -^ h C.

Or, si l'on fait /t = — i , la fraction '— devient - ;

pour avoir sa vraie valeur par la méthode connue, il faut

prendre la dérivée des deux termes par rapport à /i, et

faire /t = — i dans le quotient de ces dérivées, c'est-à-dire

dans -9 ce qui donne la:. On a donc

— = Ix -f- C.

IliTÉGRÀTIOZr n'UNE SOMME.

3S7. Nous avons donné, dans le calcul différentiel, des règles pour différenticr une somme, un produit de plusieurs fonctions, une fonction de fonctions^ on en déduit des règles analogues pour le calcul intégral.

Ainsi, de la formule

rf ( a -+- w — z) =eiU'^dç — dz, on tire, en intégrant les deux membres,

1 d{u-\- »— z)=: j du -+- j dif-- I dz.

=^ 1 /{x)dx -h j f^[x)dx — l ^{x)dx, Storm. — j4n.y I. 21

322 COURS D^ÀNALYSC.

Donc V intégrale à! une somme de fonctions est la somme des intégrales des Jonctions qui la composent. Par exemple,

kaf^^ BjH^' Cjc^*'

(Ax^-f-Ba:"-hCa:^-f-...)^= 1 1 h.

pr q (4j:»--5x»— 3x4-8) ^a:=ar* — -j;» jc» - 8x -+- C,

(jt»— 4^:2 -4-5) d:r I , . tft