INTÉGRATION PAR PARTIES
328. Quand u et i^ sont deux fonctions quelconques d^une même variable, on a
duv =1 udtf -h vdu; donc, en intégrant, on a
UP
ou bien
=1 j udv -h I prf«,
j udv r= UP — I prftt.
Celle formule, qui ramène la recherche d'une intégrale
/ u J^ à celle d^une autre intégrale i i^du^ constitue une
méihode dMntégratiou fréquemment employée. On T appelle intégration par parties^ quoiqu'il fût peut-être plus correct de la nommer intégration par facteurs , puisqu'elle est fondée sur la décomposition de la différentielle que Ton veut intégrer en deux facteurs.
Exemples.
cosxdx.
On posera I jc*cosxdx z=z I x'rfsinx:^ x'sinx — 2 l'xsinxdj:^
j X sinxdx z=: — 1 xdcosx ^= — x cosx H- / cosxdx = — X cosar -4- sinx -t- C.
Od aura donc, en substituant cette valeur dans la première égalité,
cosxdx =• x'sinx -+- 2a- cosa: — 2 sinx -+- C.
»• I afe'dx.
On a
j af"e*elx=z j x^de* = j^e' — m j x!^^*e*dx.
Ainsi Tintégration de x^^dx se ramène à celle de or'^—^e'rfj:; on ramènera de même celte dernière à celle de a:*""*e'Jx, et ainsi de suite-, en sorte que, si m est un nombre entier positif, on sera définitivement conduit à
chercher 1 é'dx^ qui est e^-f- C, et une suite de substitutions donnera Tintégrale demandée.
En prenant m = 2, on trouverait
\x étant le logarithme népérien de a:. On trouve
/C dx [xdx = x\x — jx — zz2x[\x — i) H- C.
TNTÉGKATION PAR SUBSTITUTION.
329. Quelquefois une fonction dîfierenlîelle f(x)dx, qui n'éuit pas immédiatement intégrable, le devient par un changement de variable. On dit alors que l'intégrale est obtenue par substitution.
Ainsi, soit x = f{t) : on a
'dx = ff'(t)dt et C/[x)dx=f/[rf{iW{t)dt.
Exemples.
1» j [ax -^ b)'^dx.
On posera
Donc
di ax-^b=zty d'où dx=z-"
/i r I '*"*"' (ax-T- b]''dx=z'' I f^dt^ ; h C,
{ax -h b)''dx==: h C.
a m -h i 2° Plus généralement, si l'on avait à trouver
/(ax -h b)dxy on poserait
di
ax -h b=zt, d*où <ir =z —> ' a
et alors on serait ramené à
'^f/{i)dt.
On se fonde ici, pour le choix d'une nouvelle variable f , sur ce que le numérateur de la fonclion différentielle est égal, à un facteur constant près, à la différentielle du
VINGT' SEPTIÈME LEÇOH. 325
dénominateur. Posons
3x* -hn =ty d'où jc*dx = — dt;
il en résulte
OU
bien
r xdx Posons
V^a' -i- x' = r, d'où fl' -f- A'' = /*, x<ir = /rf/. Par suite
/— - '^— = rr//= r -h c — v^«' H- X» -+- c. ^Jn^^j^ J
5^ La même méthode conduit à l'intégrale fréquemment employée
r dx
J x'-+- px -f- q
lorsque les deux facteurs du premier degré dans lesquels se décompose x*-\- px -f- q sont imaginaires, c'est-à-dire
quand on a g — ~ ^ o. On a identiquement Si Ton pose
l'intégrale cherchée devient
\ C dt I
= : I =: =- arctang/ — C,
OU bien, ea remplaçant t par sa valeur en fonctiou de jr,
dx l 2 ^
— = — arc tang — - -4- C.
jc^-hpx-hq I p^ n^
Ce résultat peut se mettre sous une autre forme. Nonn-
mons «4-6 y' — i et a — 6 y — i les racines imag;inaires
de Téquation
x*-^ px -f- ^ = 0.
On a
a rrr 9 5
donc Fîntégrale en question pourra s'écrire
/dx I X — a ^ — = - arc tang — h C.
x^-hpx-\-q 6 ® 6
J ^a — bx'
on a
/dx I /* r/x
Soit maintenant
par suite, on a
:=--arcsin/H-C,
OU enfin
/dx I . / /A\ ^
— r . .--^ =^ — ^ arc sm l xi/- -4- C. yfl — 6-c» V^ \ V «/
VilfGT-HUITIEMB LEÇOH. 827
