Nous allons donc chercher

(x) dx

328 couKS d'analyse.

Soît m le degré de Téquation

dont nous désignerons les m racines par a, &, c,..., Ar.

Supposons d'abord que ces m racines, réelles ou imaginaires, soient toutes inégales. Cherchons a déterminer> si c'est possible, m constantes A, 6, C,..., K, de manière que Tégalité

soit vérîGée identiquement. Il faut et il suffit que Ton ait, pour toute valeur de x,

Tous les quotients :^-^ — ^ '^—^ — :»•••> sont entiers, et les * X — a X — 0

inconnues A, B, C, . . ., sont en nombre égal à m; on pourrait donc trouver leurs valeurs en égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres; mais on emploie un moyen beaucoup plus simple, et qui a l'avantage de faire voir que ces valeurs ne sont ni infinies ni indéterminées.

Faisons a: = a dans l'équation (2) ; puisque les racines

a, é, c,..., A sont toutes inégales, les quotients — - — —.>

«L L,..., '^^ ' deviendront nuls. D'ailleurs -^ — ^de- X — c X — A" X — a

vient - pour X = a*, mais sa vraie valeur, d'après la règle

connue, est y (û). Donc

y{a)=A/'(a), d'où A=^j.

Cette valeur de A n'est pas infinie, puisque a étant une racine simple de/^{j:), /"'(a) n'est pas nulle; la valeur de A est, en outre, différente de o si l'on admet, ce qui

TINGT-HUlTlkllE LEÇOlf. 829

est toujours permis, que la fraction — ^ soit irréductible.

Ainsi, en donnant aux constantes les valeurs finies et déterminées

Téquation (2) est satisfaite pour x = €?, a:=2>,.... Elle aura donc lieu pour toute autre valeur de x. Car, si Téquation (2) n'était pas identique, comme elle est au plus du degré m — i par rapport à x, et qu'elle est vérifiée pour les m valeurs de a, &, c, . . . , A*, elle aurait m racines, ce qui est impossible.

nières à la valeur de ^-^ — - pour a: = a