ff — i) X — a
yurGT-BVITIÈME LEÇON. 335
Ce développement ne s'étend pas plus loin parce que y(j:), dans le cas où f(x) = (x — û)", est au plus du
d^ré n — i . Il résulte de là que -' - ■ est décomposable
en 71 fractions ayant chacune pour numérateur une constante, et pour dénominateur une puissance de x — a. Le problème est ainsi ramené à intégrer des fractions
dx
de la forme -7- Cette différentielle pouvant semel-
(x — ay *
ire sous la forme -r ? on voit que son intégrale est
— n r: r-; si A est "> i, et l(x — a) si A =i.
337. Cherchons maintenant à opérer une décomposition analogue à la précédente, dans le cas général, c'està-dire quand on a
J{x) = 'ili{x^aY[x^b]P[x — c)'i.,.[x-k) = {X'-a)"f,[x),
Soient A, Ai, A„ A^, . . . , A„.,, n coefficients assujettis à vérifier Tidentité
f{x) [x — af (X — aj"-' x — a /^[x)
ip {x) étant un polynôme rationnel et entier par rapport à X. Si Ton multiplie cette équation par^ (x) et que Ton fasse passer dans le premier membre les termes qui contiennent A, Al, Al,..., A;,i, il faudra que Ton ait, pour toute valeur de x,
Maintenant, en développant ç [x) suivant les puissances
de X — a, on aura
On obtiendra fourf(x) un développement analogue; mais comme a est une racine multiple de Tordre njf[a), /'(^)' • • •'/""* (^) ^^^^ nulles, et Ton a simplement
Substituons ces valeurs de ç(x) et dey(x) dans Véquation (i) : en ordonnant par rapport aux puissances de (x — a) y le premier membre deviendra
Ll.2 I.2...(/l4-2) ' i.a...(/ï-Hi) 'l..A.../lJ^ '
Ll.'2.../l I.2...2/Z ' i.a... (-2/14- l) J^ '
Or, comme le second membre est divisible par (x — a)", il doit en être de même du premier. Il faudra donc que les coefficients de toutes les puissances de x — a, dans le premier membre, jusqu'au coefficient de (x — a)""~' inclusivement, soient nuls.
En égalant à zéro ces coefficients, on aura n équations du premier degré, qui donneront pour A, Aj , Ât , . . . , A^^^i uo système unique de valeurs finies et déterminées, car les dénominateurs des valeurs inconnues sont les diflerentes puissances def^"^ (a), et par hypothèse^^"^ [a) n'est pas nulle.
