Ayant ainsi mis ■^—, sous la forme
(x— «}" [x—a)'*-^ x — a /i(jf)
TIKGT-HT7ITI%ME LEÇOIV. Si'J
on mettra de même ^ , ; sous la forme
{x-ùy {x — by^^ ' • jc — à ' A[x)
ft (x) désignant le quotient de la division de fi [x) par
[x—by.
En continuant de la même manière, on finira par obtenir le développement
/■(a?) (x — aj" (j: — fl)"~' x — a
B B| Dm I
expression qui, multipliée par dxj sera très-facile à intégrer.
La décomposition précédente ne peut se faire que d'une seule manière^ car, si les constantes Ai, At,**-,A„.i relatives à la racine a, par exemple, étaient susceptibles de plusieurs valeurs, on devrait les trouver en commençant la décomposition par cette racine. Qr on n'a trouvé qu'une seule valeur pour chacune de ces constantes. Donc
la fraction -jr. — ne peut se décomposer que d'une seule
manière en fractions simples de la forme considérée.
CAS PAETIGULIER DES RACIBES IMAGINAIRES MULTIPLES.
339. Si quelques-unes des racines multiples de Téquation J'[x) = o étaient imaginaires, le développement
Stuhm. — jin., I. 22
338 COURS D^HÀLTSE.
de yi—7 renfermerait des imaginaires que Ton pourrait
faire disparaître en groupant d'une manière convenable ]es termes relatifs aux racines conjugées; mais il est plus simple d*opérerde la manière suivante.
Soient a ± S \/ — i deux racines conjuguées de l'équation f(x) = o, et n leur degré de multiplicité. Posons
Ajx-f-B, A.,x-hB,»-, . +(jr)
A, B, Al, Bi, etc., sont des constantes qu il s'agit de déterminer*, i^ (x) une fonction rationnelle et entière de x^ et/l (x) le quotient de y (x) divisé par [{x — a)* 4- S*]", On doit avoir Tidentité
t(x) - (Ax-+- B)/.(x) -(A.X + B.) [(*-«)'-+- 6']/ (jp) - ( A,x -I- B,) [(x -- a)» -+- 6']»/. (x)
Les constantes A, B, Ai, Bi, etc., doivent donc être choisies de telle sorte, que le premier membre de celte équation soit divisible par [(x — «)*"HS*]* ou, ce qui revient au même, de manière que, pour X = a H- S ^ — I, ce premier membre devienne nul, ainsi que ses n — i premières dérivées. On aura ainsi n écjualions, dont chacune se partagera en deux, car il faudra égaler séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire de chaque équation.
Dans la première équation, tous les termes, à partir du second, contenant (x — a)' -h 6' en fadeur devîeadront nuls pour x = a -h S ^ — i . Cetle équation ne contient donc que A et B, et comme elle se décompose eu deux, on
VIHGT-HUITIÈMB LEÇOK. 3 89
pourra ainsi trouver les valeurs de A et B. Quant à la seconde équation , obtenue en prenant la dérivée des deux membres de la première, elle ne contiendra que A, B,
Al, B| quand on aura fait x = a + S ^ — i , et comme A et B sont déjà connus, et que cette équation se sépare en deux, elle donnera les valeurs de Ai et de B]. On obtiendra de la même manière les autres constantes.
Ce calcul fait, on opérera ensuite la décomposition de
— -7— r en différents termes dont la forme, connue d'après
tout ce qui précède^ dépendra de la nature des facteurs binômes defi (x).
340. Le cas des racines imaginaires multiples conduit donc à intégrer des différentielles de la forme
(Ax4- B)</x
n étant un nombre entier et positif. Or ou a identiquement
/(Ax-f-BUx r k(x^a)dx r (Aa-f-B)rfx
[(x ~ a)» -h et "" j [(* - ^Y ^=^ "*" j [(-^ - «)' -+- ^T""
Si Ton pose
(x — a)»-h6»=/, d'où ^[x-^(i)dx = dt, on a, à une constante près, lorsque n est^i,
/A (JT >-~ g) dx rf<fif A
[(x — (xY -I- 6^ "J '^F ~~ "" 2(/i — i)r— •
2(/i — i)[(x— aJ^H-ê»]"-* et, lorsque /i = i ,
A(x — et) dx A.r,
Reste donc à déterminer
(Aa-f-B)</jr
34o COURS d'analyse.
Pour cela, soît x — a = S «, d'où //r = 6rfz 5 on a
/' (Aa-4- B)^ A«-f-B Ç dz
en sorte qu on est ramené a trouver
dz
c'est donc cette dernière intégration qui doit maintenant nous occuper.
341 • On a identiquement
Mais
/dz n dz r z'dz
et
par conséquent, en intégrant par parties, on a
r z'dz z 1 r dz
J (n-z^"""" (in— 2) (i -h *»)■-• 211 — 2 J (i-f-s»)»-»'
Substituant cette valeur dans (i), il vient, en réduisant^
/dz z 2« — 3 r dz (i -f- «■')" "" (2/1 — a) (i -hz')"-' 2/1 — 2 J (i -f- «»)•-•'
Ainsi la recherche de 1 -r- est ramenée à celle de
/7 : — ; de même cette dernière serait ramenée à (H-z')— ■'
— -J et ainsi de suite, et comme n est
un nombre entier positif, on sera finalement conduit à la
VnrGT-NBlTVIÈMB LBÇON. 34 I
recherche de /• i q^î est ëgale à arctangz. L'inié-
gration de - — ■ — — » et par suite celle de p^ rrT~i7i;»
se trouvera ainsi effectuée.
/dz de la manière
suivante. Posons
r=arctaDg2;
il en résulte
iiz . fiz di dt = , = ;
or
I dz
= cos*^ d'où •; = cos**~'/£iif ;
par suite
— = / cos^"Udt.
On connaît différentes manières de parvenir à cette dei^ oière intégrale : une des plus simples consiste à développer cos'"~*t suivant les cosinus des multiples de t [154, formules (i) et (2)]. On obtient ainsi un développement limité, et dont chaque terme, multiplié par dt, s'intègre très -facilement.
34 2 COURS d'analtsv.
