Occupons-nous maintenant de Tintégration de

f\Xy \a -^ bx — x^idx»

346 COURS D^ANILTSB.

D^abord, si a est positif, on peut employer la seconde transformation. On posera

yja -^ bx — a^z=iy[â-^xz^ d'où ^ — x = ax^a -h J»*;

donc

b — izJâ (i) X —

(3) dir = ^i^'^-^^-^^)^\

349. Il existe une troisième transformation qui permet d^intégrer

y(x, ^a-h bx± X») dlr,

quand les deux racines du trinôme a-hhxdzx* sont réelles (dans le cas où x* et le terme constant sous le radical ont le signe — , les racines doivent être réelles, pour que le trinôme ne soit pas constamment négatif).

Supposons d'abord que le terme x* sous le radical ait le signe + ; soient a et 6 les racines de Téquation

a -f ^x -f- X* = o, on aura

a -4- Ax -h x*:= (x — a) (-îP — 6).

Posons

^a -+- bx -+- x' = (x — a) « ou a -f- 6x -h x* = (x — «i)*x% il en résulte (x — a.) (x — 6) =: (x — c^Yt^^ ou X — 6 = (x — «) «"j

VIWGT-llEUVlfeME LEÇOIT. 347

par conséquent,

(a) V«-4- 6jr-ha:»=r(j:— a)z— I -^ — a | z == ^ '^-j

^,. , — (i — z*)2azrfz-4- (6 — az')az</z 2(6 — a)zdz

II f^ut modifier ces formules , quand le terme x* est précédé du signe — : on écrit dans ce cas

a -^ bx — x^7=:[x — a) (6 — x).

Posons

^a "h bx — x' z= [x — a)Zf

d'où

6 — x = (x — a) z*, et, par suite,

(4) x= — ; — ry

(5) ^a -h bx — x*:= (x — a)z =

-/•. , (i-i- z*)iazdz — (6-h az*)2Z</2 2 (a — 6)zrfz